استكشاف سلوك العلاقات الضمنية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | العلاقات الضمنية |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق الضمني |
تحليل المنحنيات التي ليست دوالاً
- الدوائر والإهليلجات والعلاقات المخفية الأخرى تفشل اختبار الخط الرأسي — فهي ليست $y=f(x)$.
- يمكنك إيجاد ميل المماس الخاص بها، ورصد المماسات الأفقية والرأسية، وحتى تقعرها.
- يمكنك إيجاد ميل المماس لها، ورسم المماسات الأفقية والرأسية، وحتى تحديد تقعرها.
- تطبيق هذه الدرس لطريقة الوحدة 3 المخفية على أسئلة التحليل في الوحدة 5.
المماسات الأفقية: البسط يساوي صفراً
- من الاشتقاق الضمني تحصل على $\tfrac{dy}{dx}$ ككسر.
- يحدث المماس الأفقي حيث $\tfrac{dy}{dx}=0$ — ضع البسط يساوي صفرًا (مع المقام $\neq0$).
- بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ عندما $x=0$، أي عند $(0,5)$ و$(0,-5)$ (الأعلى والأسفل).
- هذه هي أعلى وأدنى نقاط المنحنى.
المماسات على الدائرة
y = √(25 − x²) (النصف العلوي)
على $x^2+y^2=25$ يكون للمماس العلوي والسفلي أفقي؛ ولليميني واليساري عمودي.
يحدث مماس أفقي في منحنى ضمني حيث $\tfrac{dy}{dx}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مماس أفقي ⇔ ميل $0$ ⇔ بسط $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً.
بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$)، حدد جميع النقاط التي لها مماس أفقي.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{dy}{dx}=0$ عندما $x=0$: النقطتان العلوية والسفلية.
المماسات الرأسية: المقام يساوي صفرًا
- يحدث المماس الرأسي حيث $\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف — ضع المقام يساوي صفرًا (مع البسط $\neq0$).
- بالنسبة لـ $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ غير معرّف عندما $y=0$، أي عند $(5,0)$ و$(-5,0)$ (اليسار واليمين).
- يكون خط المماس رأسيًا هناك — ينحني المنحنى عموديًا لأعلى ولأسفل.
- بصل صفري ← أفقي؛ مقام صفر ← رأسي.
يحدث مماس عمودي حيث ____ $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الصفر في المقام ⇒ الميل غير معرف ⇒ مماس عمودي.
جعل المقام في $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفراً يجد المماسات التي...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الصفر في المقام ⇒ مماس عمودي (الصفر في البسط ⇒ أفقي).
التقعر: المشتقة الثانية الضمنية
- للحصول على التقعر، اشتق $\tfrac{dy}{dx}$ مرة أخرى ضمنيًا لإيجاد $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- تذكر أن كل $y$ لا يزال يعتمد على $x$، لذا يعيد قاعدة السلسلة الظهور، وتقوم بتعويض $\tfrac{dy}{dx}$ المعروف.
- إشارة $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ تعطي التقعر للأعلى/لأسفل عند نقطة، كما كان الحال سابقًا.
- إنه أكثر جبرًا، لكن نفس الأفكار: $f''>0$ للأعلى، $f''<0$ للأسفل.
يجب أن يحقق النقطة المرشحة المعادلة الأصلية (تقع على المنحنى) لتُحسب.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحقق من أن النقطة تقع فعلاً على المنحنى، ليس فقط شرط الميل.
لعثور على التقعر في منحنى ضمني أنت...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يعطي المشتقة الثانية الضمنية $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ التقعر عبر إشارتها.
بالنسبة للمماسات الأفقية ضع بسط $\tfrac{dy}{dx}$ يساوي صفرًا؛ وبالنسبة للمماسات الرأسية ضع المقام يساوي صفرًا — لا تقم بتبديلهما. ولا تُعتبر النقطة مؤهلة إلا إذا كانت تقع فعليًا على المنحنى: تحقق من أنها تحقق المعادلة الأصلية، وليس فقط شرط المشتقة.
أوجد المماسات الأفقية والرأسية لـ $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- أفقي ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- رأسي ($\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
حلل العلاقة الضمنية باستخدام الاشتقاق الضمني: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (بسط صفري) يعطي مماسات أفقية؛ $\tfrac{dy}{dx}$ غير معرّف (مقام صفري) يعطي مماسات رأسية. اشتق مرة أخرى ضمنيًا بالنسبة لـ $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ واقرأ التقعر من إشارته. تأكد دائمًا من أن النقاط تقع على المنحنى.