مقدمة لمسائل التحسين
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | التحسين |
| variable/ˈveərɪəbl/ | متغير |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | الدالة الهدف |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | القيود |
جعل شيء ما كبيراً (أو صغيراً) قدر الإمكان
- المسائل الحقيقية تسأل: ما الأبعاد التي تعطي أكبر مساحة؟ أقل تكلفة؟ أقصر وقت؟
- هذه مسائل تحسين — إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لكمية معينة.
- يحل التفاضل والتكامل هذه المسائل لأن القيم القصوى توجد حيث يكون المشتق صفراً.
- درسنا هذا يدور حول الإعداد؛ والحل يأتي لاحقاً.
تسمية متغير وكتابة الهدف
- اختر متغيراً للكمية التي يمكنك التحكم بها (طول، نصف قطر، سعر).
- اكتب الشيء الذي تريد تعظيمه أو تصغيره كدالة لذلك المتغير — وهو دالة الهدف.
- مثال: لمستطيل محيطه ثابت، اكتب المساحة بدلالة طول ضلع واحد.
- ارسم صورة وعلّمها — معظم أخطاء الإعداد تحدث بسبب مخططات غير معلّمة.
في "تعظيم المساحة مع محيط ثابت"، المساحة هي...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
أنت تحسّن الهدف (المساحة)؛ المحيط هو القيد.
استخدام قيد للحصول على متغير واحد
- عادةً تبدأ دالة الهدف بـ متغيرين (مثل الطول والعرض).
- معادلة القيد تربط بينهما (محيط ثابت، حجم ثابت، ميزانية).
- حل قيد المتغير بالنسبة لواحد منهما وعوّض، بحيث تعتمد دالة الهدف على متغير واحد. الآن أصبحت مسألة "إيجاد القيمة القصوى" عادية.
- الآن هي مسألة "إيجاد القيمة القصوى" عادية.
المساحة كقطع مكافئ هابط واحد
y = ax² + bx
بعد استخدام القيد، تصبح المساحة $A=10x-x^2$ — قطع مكافئ مفتوح للأسفل له ذروة واحدة للبحث عنها.
يُستخدم معادلة القيد لـ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حل قيد المتغير بالنسبة لأحد المتغيرات وتعويضه.
هدف الإعداد هو كتابة دالة الهدف بدلالة متغير ____ واحد.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
متغير واحد ⇒ مسألة نهاية عادية.
رتب خطوات إعداد التحسين.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
المتغير، دالة الهدف، القيد، التعويض.
إعداد محلول
- "لدى مزارع $40$ متر من السياج لتربية حيوان مستطيلة الشكل مقابل جدار (بدون سياج على جانب الجدار)."
- الهدف: المساحة $=2x+y=40$، وهي الآن دالة في $y=40-2x$ وحدها.
- الهدف: المساحة $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$، وهي الآن دالة في $x$ وحدها.
- جاهز لتعظيم $A(x)$ — هذا هو الدرس 5.11.
مع $2x+y=40$ (جدار في جانب واحد)، تصبح المساحة $A=xy$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=40-2x$، إذن $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
ملاحظة مجال المتغير (مثل $0<x<10$) جزء من إعداد التحسين الصحيح.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حدود المجال حيث يمكن أن تكون الإجابة صالحة.
افصل بين الهدف (ما تقوم بتحسينه) والقيد (العلاقة الثابتة). أنت تعظم/صغّر الهدف، وتستخدم القيد فقط للتخلص من متغير. لاحظ أيضاً مجال المتغير (مثل $x>0$ و$y>0$) — فهو يحدّ من المكان الذي يمكن أن يقع فيه الإجابة الصحيحة.
الإعداد: تعظيم مساحة مستطيل محيطه $20$.
- ليكن الطول والعرض $x$ و$y$. القيد: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- الهدف: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- المجال: $0<x<10$. تصبح المسألة الآن "تعظيم $A(x)=10x-x^2$."
مسألة التحسين تبحث عن قيمة عظمى أو صغرى. يتم إعدادها بتسمية متغير، وكتابة دالة الهدف المراد تحسينها، واستخدام معادلة قيد لتبسيطها إلى متغير واحد. لاحظ المجال. ثم تصبح مسألة حد قياسي (في الدرس التالي).