أنصاف أقطاب النجوم
| English | العربية |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | درجة حرارة |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | قانون إزاحة فين |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | قانون ستيفان-بولتزمان |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | الجسم الأسود |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | الطول الموجي |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | ثابت ستيفان-بولتزمان |
لا يمكن لأي تلسكوب رؤية النجم كقرص
- كل النجوم باستثناء الشمس تُعتبر نقطة حتى في أكبر التلسكوبات. قرصها صغير جداً بحيث لا يمكن تمييزه.
- ومع ذلك، فإن نصف قطر نجم على بُعد آلاف السنين الضوئية هو حساب روتيني، ويتم إجراؤه من شيئين يمكنك قياسهما: لونه وسطوعه.
- اللون يعطي درجة حرارة السطح. السطوع والمسافة يعطانا إجمالي القدرة. هذان الاثنان معاً يعطيان الحجم.
- هذه الدرس هي قانون إزاحة فين وقانون ستيفان-بولتزمان، والسلسلة ثلاثية الخطوات التي تربط بينهما.
قانون إزاحة فين
- الجسم الساخن يشع طيفاً مستمراً لـ الجسم الأسود يقع ذروته عند طول موجي تحدده درجة حرارته:
- الطول الموجي الذي تكون عنده الشدة في أقصى قيمة لها يتناسب عكسياً مع درجة الحرارة الديناميكية الحرارية. قل "الطول الموجي للشدة القصوى"، لا فقط "الطول الموجي".
- يجب أن تكون درجة الحرارة بـ الكلفن، ويصف القانون ذروة المنحنى المستمر، وليس خطوط الطيف.
- يعني الأكثر سخونة أزرق: حيث يضيء نجم أحمر قريب من $3000\ \text{K}$ ذروته في الأشعة تحت الحمراء، والشمس قريبة من $5800\ \text{K}$ ذروتها حول $500\ \text{nm}$، ونجم أزرق-أبيض قريب من $20000\ \text{K}$ ذروته في الأشعة فوق البنفسجية.
أحر، أطول، وأبعد يساراً
النجوم الأكثر سخونة يكون ذروة طيفها (قانون فين) عند طول موجي ____.
$\lambda_{\max}T = b$، لذا فإن ارتفاع $T$ يعني انخفاض $\lambda_{\max}$ — نحو الأزرق.
أي مما يلي ينتمي إلى نص قانون إزاحة فين؟ حدّد كل الخيارات الصحيحة.
يتعلق بذروة المنحنى المستمر للجسم الأسود، وليس الخطوط. قول "الطول الموجي" فقط يفقد العلامة؛ قل "طول موجي أقصى الشدة".
مثال محلول: حساب درجة حرارة نجم
- يتوج طيف نجم عند $500\ \text{nm}$. أوجد درجة حرارة سطحه.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- حول النانومترات إلى أمتار أولاً. الثابت بوحدة متر كلفن، لذا يعطي الطول الموجي بالنانومتر درجة حرارة خاطئة بمقدار $10^9$.
- هذه القياسة الواحدة هي السبب الكامل في أن لون النجم مفيد: اللون هو درجة الحرارة.
يصل طيف النجم إلى ذروته عند $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. ما هي درجة حرارة سطحه؟ ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — تقريباً للشمس.
صل كل نجم بمكان تصل إليه ذروة طيفه.
الأكثر سخونة له ذروة أقصر. هذه القياس الوحيد هو لماذا لون النجم مفيد: اللون هو درجة الحرارة.
قانون ستيفان-بولتزمان
- تعامل مع النجم ككرة سوداء نصف قطرها $r$ ودرجة حرارة سطحها $T$:
- $\sigma$ هو ثابت ستيفان-بولتزمان.
- اعتمادان، وهما مختلفان تمامًا في القوة. $L \propto r^2$: ضعف نصف القطر يعني أربعة أضعاف السطوع. $L \propto T^4$: ضعف درجة الحرارة يعني ستة عشر ضعفًا في السطوع.
- لذا فإن خطأً صغيرًا في درجة الحرارة يؤدي إلى خطأ كبير في السطوع، ولهذا يجب قراءة الطول الموجي للذروة بعناية.
لمعان ونصف قطر النجم
L ∝ r²
لدرجة حرارة سطح معطاة، يزداد لمعان النجم مع مربع نصف قطره (قانون ستيفان).
تعطي قانون ستيفان-بولتزمان لمعان النجم:
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — يعتمد بشدة على كل من نصف القطر ودرجة الحرارة.
باستخدام $L = 4\pi\sigma r^2T^4$، أي مما يلي صحيح؟ حدّد كل الخيارات الصحيحة.
L يتناسب مع r^2 وT^4. هذا الأس الرابع هو السبب في ضرورة قراءة الطول الموجي للذروة بعناية وتصحيحه من الانزياح الأحمر.
مثال محلول: سطوع نجم شبيه بالشمس
- نجم له نصف قطر $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ ودرجة حرارة سطح $5800\ \text{K}$. أوجد سطوعه.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- مربع نصف القطر وارفع درجة الحرارة للأس الأربع. على الآلة الحاسبة، قم بـ $T^4$ كخطوة مستقلة وتحقق من مقداره: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
إذا تضاعفت درجة حرارة نجم (بنفس نصف القطر)، يتضاعف لمعانه بـ:
$L \propto T^{4}$، لذا فإن مضاعفة $T$ تعطي $2^{4} = 16$ ضعف اللمعان.
نفس السطوع، نجوم متعاكسة
- نظرًا لأن $L$ يعتمد على كل من $r$ و$T$، يمكن لنجمين مختلفين تمامًا أن يكون لهما نفس السطوع.
- العملاق الأحمر بارد، لذا فإن $T^4$ الخاص به صغير، لكنه ضخم جدًا، و$r^2$ يعوض ذلك.
- القزم الأبيض ساخن جدًا ولكنه صغير: $T^4$ هائل مقابل $r^2$ طفيف.
- كلما بدا الجواب مفاجئًا، تحقق منه بهذه الطريقة. نجم $140$ مرة في سطوع الشمس ولكن فقط $1.6$ مرة في الحرارة يجب أن يكون أكبر بكثير، حيث $L \propto r^2T^4$.
رتّب الخطوات الثلاث لتقدير نصف قطر النجم.
كل خطوة سطر واحد. احتفظ بدقة كاملة لـ L وT حتى النهاية، لأن T مرفوعة للأس الرابع.
تقدير نصف القطر، في ثلاث خطوات
- أولاً. قِس $\lambda_{\text{max}}$ واحصل على $T$ من قانون فين.
- ثانياً. احصل على $L$، عادة من التدفق والمسافة: $L = 4\pi d^2 F$.
- ثالثاً. حل قانون ستيفان-بولتزمان لإيجاد نصف القطر:
- كل خطوة سطر واحد. احتفظ بـالدقة الكاملة لـ$L$ و$T$ حتى النهاية، لأن $T$ مرفوعة للأس الرابع والتقريب المبكر مكلف.
دمج قانون فين وقانون ستيفان-بولتزمان يسمح لنا بتقدير نصف قطر النجم.
يعطي فين $T$، والتدفق والمسافة يعطينا $L$، ثم $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
يملك ضوء الشمس تدفقاً قدره 1370 واط/م^2 على بُعد 1.50e11 م ويصل طيفه إلى الذروة عند 500 نانومتر. ما هو نصف قطر الشمس بوحدات 1e8 م؟
L = 4 π d^2 F = 3.87e26 واط، T = 5800 كلفن، إذن r = جذر(L / (4 π σ T^4)) = 6.9e8 متر مقارنة بقيمة مقبولة قدرها 6.96e8 متر. ثلاثة معادلات في سطر واحد، دون الحاجة لدقة تلسكوب.
مثال محلول: نصف قطر الشمس، من الصفر
- شدة ضوء الشمس على الأرض هي $1370\ \text{W/m}^2$ عند $1.50\times10^{11}\ \text{m}$، ويصل طيف الشمس إلى ذروته عند $500\ \text{nm}$. قدر نصف قطر الشمس.
- السطوع: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- درجة الحرارة: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- نصف القطر: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- القيمة المقبولة هي $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. ثلاثة صيغ بسطرين، لا حاجة لدقة التلسكوب.
In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ و $F = L/(4\pi d^2)$، الطولان $r$ و$d$ يعنيان نفس الشيء.
r هو نصف قطر النجم؛ d هي مسافته منا. تبديلهما هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع، وكلاهما يختلف عن الآخر بعدة أorders من المقدار.
علامات ضائعة
- قانون فين يتعلق بالطول الموجي لـالشدة القصوى، ويجب أن تكون $T$ بـالكلفن.
- حول $\lambda_{\text{max}}$ إلى أمتار؛ الثابت $b$ بوحدة متر كلفن.
- في $L = 4\pi\sigma r^2T^4$، $r$ هو نصف قطر النجم؛ في $F = L/(4\pi d^2)$، $d$ هو المسافة إلينا. طولان مختلفان، وتبديلهما هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع.
- احتفظ بالدقة الكاملة حتى السطر الأخير، لأن $T$ مرفوعة للأس الرابع.
- بالنسبة لمجرة تبعد، صحح الذروة المرصودة قبل استخدام قانون فين، وإلا ستكون درجة الحرارة منخفضة جدًا.
لقد فهمت الأمر
- قانون إزاحة فين: الطول الموجي لـالشدة القصوى يتناسب عكسيًا مع درجة الحرارة الديناميكية الحرارية، $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- ستيفان-بولتزمان: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$، لذا فإن السطوع يتناسب مع مربع نصف القطر والأس الرابع لدرجة الحرارة
- نصف القطر يأتي بثلاث خطوات: $\lambda_{\text{max}} \to T$، ثم $F$ و$d \to L$، ثم $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- افصل بين $r$ (النجم) و$d$ (إلينا)، واحتفظ بالدقة الكاملة حتى النهاية بسبب $T^4$