الطاقة المخزنة في مكثف
| English | العربية |
|---|---|
| energy stored/ˈenədʒi stɔːd/ | طاقة مخزنة |
| defibrillator/dɪˈfɪbrɪleɪtə/ | منظف قلب |
نصف الطاقة لا يصل أبداً إلى المكثف
- وصل بطارية مثالية القوة الدافعة الكهربائية $V$ بمكثف عبر سلك. تدفع البطارية شحنة $Q = CV$ عبر فرق جهد قدره $V$، لذا تعطي $QV$ من الطاقة.
- ينتهي المكثف بحفظ $\tfrac12 QV$. ذهب بالضبط نصف الطاقة، كحرارة في السلك، ولا يهم مدى جودة السلك.
- الناقص ليس عدم كفاءة يمكن القضاء عليها هندسياً. إنه نتيجة لحقيقة أن فرق الجهد عبر المكثف يبدأ من الصفر ويصل فقط إلى $V$ في النهاية.
- هذه الدرس هو الطاقة المخزنة، حيث يأتي عامل النصف منه، وما يحدث عند مشاركة الشحنة.
الأشكال الثلاثة
- شحن المكثف يتطلب عملاً، لأن كل قطعة إضافية من الشحنة يجب دفعها ضد فرق الجهد الموجود بالفعل. جمع كل تلك القطع يعطي:
- الثلاثة كلها نفس التعبير مع استبدال $Q = CV$ بشكل مختلف. اختر الذي يستخدم الكمية اللتين تعطيك إياهما المسألة، ولن تحتاج لأي إعادة ترتيب.
الطاقة المخزنة في مكثفر هي:
الصيغ المكافئة: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$.
مكثف $2.0\ \mu\text{F}$ مشحون إلى $1000\ \text{V}$. كم مقدار الطاقة التي يخزنها؟
$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{-6} \times (1000)^{2} = 1.0\ \text{J}$.
المساحة تحت المنحنى
- رسم بياني لـ $V$ مقابل $Q$ لمكثف هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، ميله $1/C$.
- الطاقة المخزنة هي المساحة تحت ذلك الخط حتى الشحنة $Q$، وهي مثلث مساحته $\tfrac12 QV$.
- هناك يأتي النصف: فرق الجهد يتزايد من الصفر إلى $V$ أثناء شحن المكثف، لذا فإن متوسط فرق الجهد أثناء الشحن هو $V/2$، وليس $V$.
مثلث، وليس مستطيلاً، وهذا هو السبب الكامل للنصف
الطاقة في مكثف
E = ½C·V²
تزداد الطاقة المخزنة مع مربع الجهد.
لماذا يوجد معامل ½ في صيغة الطاقة المخزنة؟
يرتفع فرق الجهد من 0 إلى V أثناء الشحن، لذا المتوسط هو V/2 — ومنه مساحة المثلث $\tfrac{1}{2}QV$.
الطاقة المخزنة تساوي ____ تحت الرسم البياني لـ V–Q.
مساحة المثلث تحت الخط تساوي $\tfrac{1}{2}QV$ — الطاقة المخزنة.
مثال محلول: الطاقة من الرسم البياني
- رسم بياني لـ $Q$ مقابل $V$ هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل ويمر عبر $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. أوجد السعة، والطاقة عند $10\ \text{V}$، والطاقة الإضافية اللازمة للوصول إلى $12\ \text{V}$.
- الميل لـ $Q$ مقابل $V$ هو السعة: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- الطاقة عند $10\ \text{V}$: المساحة، $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- عند $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$، إذن الطاقة الإضافية هي $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- لاحظ أن ارتفاعاً بنسبة 20% في الجهد يكلف ارتفاعاً بنسبة 44% في الطاقة، لأن $W \propto V^2$.
الرسم البياني للشحنة مقابل فرق الجهد للمكثف هو خط مستقيم يمر من原点. ماذا يعطي ميله؟
الميل لـ Q مقابل V هو C، والطاقة هي المساحة تحت خط V مقابل Q. لا تخلط بين الميل والمساحة.
الطاقة تتناسب مع التربيع
- نظراً لأن $W = \tfrac12 CV^2$، فإن تضاعف فرق الجهد يُربّع الطاقة لنفس المكثف.
- لهذا السبب تقوم فلاش الكاميرا أو منظف القلب بشحن مكثفها لمئات أو آلاف الفولت بدلاً من استخدام مكثف أكبر بجهد منخفض: الجهد هو الطريقة الأرخص لشراء الطاقة.
- ولهذا السبب أيضاً نفس المكثف عند نصف الجهد يخزن ربع الطاقة فقط، وهو أمر يستحق التحقق من إجاباتك ضده.
شحن مكثف عبر سلك يهدر حوالي نصف الطاقة المزودة على شكل حرارة.
البطارية تعطي $QV$ لكن المكثف يخزن فقط $\tfrac{1}{2}QV$؛ والباقي يسخن السلك بغض النظر عن مقاومته.
مكثف سعته 120 ميكروفاراد مشحون إلى 12 فولت. ما هي الطاقة المخزنة بالملي جول (mJ)؟
W = CV^2 / 2 = 1.2e-4 × 144 / 2 = 8.6e-3 J. عند 10 V سيخزن فقط 6.0 mJ، لأن الطاقة تتناسب مع مربع الجهد.
ضعف فرق الجهد عبر مكثف يضاعف الطاقة التي يخزنها.
W يتناسب مع مربع V، لذا فإن مضاعفة فرق الجهد تعطي أربعة أضعاف الطاقة. ولهذا تستخدم دوائر الفلاش ومصدات الصعق جهوداً عالية.
مثال محلول: مشاركة الشحنة
- مكثف مشحون $C$ عند فرق جهد $V$ يتم فصله ثم توصيل عابراً عن مكثف غير مشحون سعته $3C$. أوجد فرق الجهد النهائي والطاقة المفقودة.
- الشحنة محفوظة. الشحنة الكلية لا تزال $Q = CV$، وهي الآن على زوج توازي بسعة كلية $4C$، لذا فإن فرق الجهد المشترك هو $V' = Q/4C = V/4$.
- الطاقة غير محفوظة. قبل: $\tfrac12 CV^2$. بعد: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. ثلاثة أرباع الطاقة ذهبت.
- تتبدد كـ حرارة في الأسلاك المتصلة، وكشرار أو إشعاع، أثناء حركة الشحنة، بغض النظر عن صغر المقاومة. ذكر أين ذهبت هو العلامة.
تم توصيل مكثف مشحون عبر مكثف غير مشحون. رتب الحجج بشكل صحيح.
الشحنة محفوظة، الطاقة ليست كذلك. تحديد مكان ذهاب الطاقة المفقودة هو ما يتم تقييمه في الدرجة النهائية.
الطاقة أثناء التفريغ تنخفض بمعدل ضعف ما تنخفض به الشحنة
- أثناء التفريغ، تتناقص كل من الشحنة وفرق الجهد (p.d.) كـ $e^{-t/RC}$، لكن الطاقة تتناسب مع $V^2$، لذا فإنها تتناقص كـ $e^{-2t/RC}$.
- بعد ثابت زمني واحد، ينخفض فرق الجهد إلى $37\%$ من قيمته الأصلية، لكن الطاقة تنخفض إلى $e^{-2} = 14\%$.
- بعد ثابتي زمنيين، يكون فرق الجهد $14\%$ والطاقة فقط $1.8\%$.
- إذن للطاقة عمر نصف فعال يساوي نصف عمر نصف الشحنة. السؤال الذي يعطيك ثابتاً زمنياً ويطلب الطاقة المتبقية يختبر هذه العلاقة الضعف تحديداً.
- نفس المربع هو السبب في أن مكثفاً مشحوناً بفرق جهد مضاعف يخزن أربع مرات الطاقة.
يتفري مكثف لمدة ثابت زمن واحد بالضبط. ما النسبة المئوية المتبقية من طاقته المخزنة؟
ينخفض فرق الجهد إلى 37%، لكن الطاقة تتناسب مع مربع V، لذا e^-2 = 13.5% تبقى. ذكر 37% للطاقة هو فخ مبني عليه هذا السؤال.
علامات ضائعة
- عامل الـ $\tfrac12$ يأتي من أن متوسط فرق الجهد هو $V/2$ أثناء الشحن، أو بشكل مكافئ من مساحة المثلث. اذكر أحدهما، لا تقل "إنه موجود في المعادلة".
- $W \propto V^2$، لذا فإن مضاعفة الجهد تعطي أربع مرات الطاقة، وليس مرتين.
- في مسائل مشاركة الشحنة، الشحنة محفوظة ولكن الطاقة ليست كذلك. اذكر أين تذهب الطاقة المفقودة.
- تُفقد نصف طاقة البطارية على شكل حرارة أثناء الشحن بغض النظر عن مقاومة السلك. هذا ليس عيباً في الدائرة.
لقد فهمت الأمر
- الطاقة المخزنة $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$؛ اختر الصيغة المطابقة للكميات المعطاة
- إنه المساحة تحت منحنى $V$ مقابل $Q$، وهي مثلث، والـ $\tfrac12$ سببها أن متوسط فرق الجهد أثناء الشحن هو $V/2$
- $W \propto V^2$: مضاعفة فرق الجهد تعطي أرباع الطاقة
- عند مشاركة الشحنة، تكون الشحنة محفوظة والطاقة ليست كذلك: الفرق يتبدد على شكل حرارة في الأسلاك، بغض النظر عن مقاومتها