تفريغ مكثف
| English | العربية |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | التفريغ |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | الثابت الزمني |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | تناقص أسي |
التناقص الذي لا يكتمل أبداً
- يفقد المكثف المشحون 63% من شحنته في الثابت الزمني الأول، ثم 63% مما تبقى في التالي، وهكذا إلى ما لا نهاية.
- بعد خمسة ثوابت زمنية، يبقى أقل من 1%، لكن المنحنى لا يصل إلى الصفر أبداً. لا يمكنه ذلك لأن معدل الفقدان دائماً يتناسب مع الكمية المتبقية.
- كل كمية تتصرف بهذه الطريقة، بما في ذلك التحلل الإشعاعي، تعطي نفس المنحنى، لذا فإن حفظه مرة واحدة يخدم غرضين.
- هذه الدرس هي معادلات التفريغ، والثابت الزمني، ومخطط اللوغاريتم الذي يحول المنحنى إلى خط مستقيم.
أصل الأسي
- أغلق المفتاح، وسيدفع فرق الجهد للمكثف تياراً عبر المقاومة. يعطي قانون كيرشوف الثاني $V_C = V_R$، ومع $V_C = Q/C$ و $V_R = IR$ و $I = -dQ/dt$:
- معدل الفقدان يتناسب مع الشحنة المتبقية. هذه الخاصية المميزة لـالتناقص الأسي، ولهذا السبب يفلطح المنحنى أثناء هبوطه.
أثناء التفريغ عبر مقاومة، تكون شحنة المكثف:
كلما كانت الشحنة أكبر، كان التيار أكبر — مما يعطي انخفاضاً أسياً.
لماذا يكون تفريغ المكثف أسياً؟
Q/C = -R dQ/dt تقول ذلك بالضبط. كل كمية لها هذه الخاصية، بما في ذلك الاضمحلال الإشعاعي، تعطي نفس المنحنى.
المعادلات الثلاث
- الشحنة وفرق الجهد والتيار جميعها تتناقص معاً، مع نفس الثابت الزمني:
- التيار أكبر لحظة إغلاق المفتاح، $I_0 = V_0/R$، لأن فرق الجهد الابتدائي الكامل يكون حينها عبر المقاومة. ينخفض مع انخفاض فرق الجهد.
- المساحة تحت منحنى التيار-الزمن هي الشحنة التي مرّت. جميع المنحنيات الثلاثة لها نفس الشكل، لذا فإن قياس $\tau$ من أي منها يعطي $RC$.
حادة في البداية، ثم تصبح أكثر تسطحاً باستمرار، ولا تصل للصفر أبداً
منحنى الشحن/التفريغ
يرتفع الجهد (أو يتناقص) أسياً مع ثابت زمني τ = RC.
تفريغ مكثف
Q = Q₀·bᵗ
الشحنة تنخفض أسياً عبر المقاومة.
الشحنة أثناء التفريغ معطاة بـ:
التفريغ ينخفض نحو الصفر: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (الصيغة $1 - e^{-t/RC}$ مخصصة للشحن).
الثابت الزمني
- الثابت الزمني هو:
- وحدته هي الثانية، لأن الأوم ضرب الفاراد يساوي ثانية.
- هو الوقت اللازم لتناقص الكمية المتناقصة إلى $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ من قيمتها الابتدائية. بعد $2\tau$ يبقى حوالي 13.5%، وبعد $5\tau$ أقل من 1%.
- قيمة كبيرة لـ $R$ أو قيمة كبيرة لـ $C$ تعني تفريغاً بطيئاً: مخزن كبير يفرغ عبر أنيق ضيق.
مكثف سعته $500\ \mu\text{F}$ يتفريغ عبر مقاومة $2000\ \Omega$. ما هو الثابت الزمني؟
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
بعد ثوانٍ زمنية واحدة، تنخفض الشحنة إلى حوالي ____ % من قيمتها الابتدائية.
تنخفض إلى $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$، أي حوالي 37%.
بعد 5 ثوانٍ زمنية، يبقى أقل من 1% من الشحنة.
$e^{-5} \approx 0.0067$، لذا يتبقى أقل من 1% — يُعتبر مفروغاً بالكامل عملياً.
مكثف مشحون إلى 24 V يتفريغ عبر مقاومة 5.6 كيلو أوم. ما هو التيار الابتدائي بالملي أمبير (mA)؟
في اللحظة التي يغلق فيها المفتاح، يكون كامل فرق الجهد عبر المقاومة، لذا I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. ثم يتناقص بنفس الثابت الزمني للشحنة.
مثال محلول: سؤال تفريغ كامل
- مكثس $470\ \mu\text{F}$ مشحون إلى $24\ \text{V}$ يتفريغ عبر مقاومة $5.6\ \text{k}\Omega$. أوجد الثابت الزمني، والتيار الابتدائي، وفرق الجهد بعد $4.0\ \text{s}$، والوقت اللازم لينخفض فرق الجهد إلى $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$، و$I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- بعد $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- بالنسبة للوقت، خذ اللوغاريتمات: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- ابقِ $\tau$ بدون تقريب داخل الحساب وقم بالتقريب في النهاية. ولاحظ أن $\ln(V/V_0)$ سالب، لذا فإن الإشارة السالبة تجعل $t$ موجباً: هذا إعادة الترتيب هي الأكثر طلباً والأكثر إساءة معالجتها.
بعد ثوانٍ زمنية واحدة، يبقى حوالي 37% من الشحنة الأصلية على المكثف.
تنخفض إلى 1/e من قيمتها الابتدائية، حوالي 37%. بعد اثنين تصبح حوالي 13.5%، وبعد خمسة أقل من 1%، رغم أنها لا تصل تماماً إلى الصفر.
مثال محلول: قراءة $\tau$ من الرسم البياني
- فرق الجهد عبر مكثس $2200\ \mu\text{F}$ ينخفض من $6.0\ \text{V}$ إلى $2.2\ \text{V}$ في $4.5\ \text{s}$. أوجد المقاومة.
- تحقق من النسبة أولاً: $2.2/6.0 = 0.367$، وهو $1/e$. لذا $4.5\ \text{s}$ هو ثابت زمني واحد.
- ثم $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- إذا لم يكن الانخفاض إلى $1/e$، استخدم $RC = -t/\ln(V/V_0)$ بدلاً منه. الإجابة متساوية في الحالتين، لكن ملاحظة $1/e$ توفر خطوة.
مكثف له ثابت زمني 2.63 s مشحون إلى 24 V. كم ثانية تستغرق حتى ينخفض فرق الجهد إلى 6.0 V؟
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) سالبة، لذا الإشارة السالبة تجعل t موجبة؛ هذا إعادة الترتيب هي الأكثر خطأً.
مخطط اللوغاريتم
- خذ اللوغاريتمات لـ $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- لذا فإن الرسم البياني لـ $\ln V$ مقابل $t$ هو خط مستقيم مع ميل $-1/RC$ ونقطة تقاطع $\ln V_0$.
- هذه هي الطريقة التجريبية القياسية: فهي تحول المنحنى إلى خط مستقيم، لذا تأتي $RC$ من الميل بدلاً من قراءة واحدة، وأي انحراف عن الخط المستقيم يظهر أن التناقص ليس أسياً.
ينخفض فرق الجهد عبر مكثف سعته 2200 ميكروفاراد من 6.0 V إلى 2.2 V في 4.5 s. رتب خطوات إيجاد المقاومة بشكل صحيح.
إذا لم يكن الانخفاض إلى 1/e، استخدم RC = -t/ln(V/V0) بدلاً منه. الإجابة ستكون نفسها، لكن ملاحظة 1/e توفر خطوة إضافية.
علامات ضائعة
- $\tau = RC$ هو زمن، بالثواني، وليس كسراً. بعد مرور واحد من $\tau$، تكون الكمية عند 37%، وليست63% قد اختفت وتوقفت.
- التيار هو الأكثر في البداية، عندما يكون فرق الجهد بالكامل عبر المقاومة، ويتناقص بنفس الثابت الزمني للشحنة.
- لإيجاد زمن، خذ اللوغاريتمات: $t = -RC\ln(V/V_0)$. احتفظ بالثابت الزمني غير مقرب خلال الحساب.
- في مخطط $\ln V$ مقابل $t$، الميل هو $-1/RC$، لذا $RC$ هو سالب مقلوب الميل.
الرسم البياني لـ ln V مقابل t لمكثف متفريغ هو خط مستقيم. ما هو ميله؟
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لـ V = V0 exp(-t/RC) نحصل على ln V = ln V0 - t/RC. لذا RC هي سالب مقلوب الميل، والخط المستقيم نفسه يؤكد أن الاضمحلال أسّي.
لقد فهمت الأمر
- معدل الفقدان يتناسب مع الشحنة المتبقية، لذا التناقص أسي: $Q = Q_0e^{-t/RC}$، و$V$ و$I$ يتناقصان بنفس الطريقة
- يبدأ التيار عند $I_0 = V_0/R$، والمساحة تحت منحنى التيار-الزمن تمثل الشحنة التي مرت.
- ثابت الزمن $\tau = RC$ هو الوقت اللازم للنزول إلى $1/e \approx 37\%$؛ بعد $5\tau$ يبقى أقل من 1%.
- خذ اللوغاريتمات لإيجاد زمن، $t = -RC\ln(V/V_0)$، ومخطط $\ln V$ مقابل $t$ يكون خطاً مستقيماً بميل $-1/RC$.