المكثفات والسعة
| English | العربية |
|---|---|
| capacitance/kəˈpæsɪtəns/ | السعة |
| parallel/ˈpærəlel/ | التوازي |
| farad/ˈfæræd/ | فاراد |
| dielectric/ˌdaɪɪˈlektrɪk/ | عازل / عازل كهربائي |
| series/ˈsɪəriːz/ | التوالي |
مخزن يمتلئ ثم يتوقف
- قم بتوصيل مكثف ببطارية ويتدفق تيار للحظة، ثم يتوقف تماماً، رغم أن البطارية لا تزال موصولة.
- يتوقف لأن اللوحين ليسا متصلين. تخرج الإلكترونات من لوحة وتصل إلى الأخرى عبر البطارية، ويتوقف التدفق عندما يصبح فرق الجهد عبر الفجوة مساوياً لجهد البطارية.
- إذن يبقى المكثف محملًا بـ $+Q$ على لوحة واحدة و$-Q$ على الأخرى، متساويين ومتعاكسين دائماً، والقطعة ككل لا تزال متعادلة.
- هذه الدرس هو السعة، وما يحددها، وكيف تتكامل المكثفات.
تعريف السعة
- سعة المكثف، أو لأي موصل معزول، هي الشحنة لكل وحدة فرق جهد:
- تعريفات علامتي الاختلاف قليلاً. بالنسبة لمكثف الألواح المتوازية: الشحنة على لوحة واحدة لكل وحدة فرق الجهد بين اللوحين. بالنسبة لـ كرة معزولة: الشحنة على الموصل لكل وحدة جهد.
- الوحدة هي الفاراد، $1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$. الفاراد ضخم جداً، لذا تتراوح المكثفات الحقيقية من بيكوفاراد إلى مليفاراد.
لوحان، عازل بينهما، وشحنة لا يمكنها العبور
السعة
Q = C·V
الشحنة المخزنة تناسب طردياً مع الجهد — الميل يمثل السعة C.
السعة هي الشحنة المخزنة لكل وحدة:
$C = \dfrac{Q}{V}$ — شحنة لكل فولت، بالفاراد.
يمتلك مكثف $0.012\ \text{C}$ عند $4.0\ \text{V}$. ما هي سعته بوحدة mF؟
$C = \dfrac{Q}{V} = \dfrac{0.012}{4.0} = 0.0030\ \text{F} = 3.0\ \text{mF}$.
المكثف المشحون يحمل +Q على صفيحة و-Q على الأخرى، لذا يكون المكثف ككل متعادلاً.
الإلكترونات تنتقل من صفيحة إلى أخرى عبر البطارية، لذا تكون الشحنات دائماً متساوية ومتعاكسة. الشحنة المخزنة Q تعني شحنة إحدى الصفحتين.
ما يحدد السعة
- $C$ هي ثابت لمكثف معين.ضاعف الشحنة ويضاعف فرق الجهد أيضاً، لذا لا يتغير النسب. ولهذا السبب الرسم البياني لـ $Q$ مقابل $V$ هو خط مستقيم يمر بالمبدأ.
- للألواح المتوازية، $C$ تتناسب طردياً مع مساحة اللوحة وعكسياً مع الفصل: نصف المسافة فتتضاعف السعة. استبدال الهواء بـ عازل يرفعها أكثر.
- للـ كرة المعزولة نصف قطرها $r$، $V = Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$، لذا $C = 4\pi\varepsilon_0 r$: السعة تعتمد فقط على حجمها.
مضاعفة شحنة المكثف مضاعفة الجهد، لذا تظل سعته ثابتة.
$C = \dfrac{Q}{V}$ ثابت محدد بحجم المكثع والوسيط المعزول — $Q$ و$V$ يرتفعان معاً.
مثال محلول: الكرة المشحونة
- كرة معدنية معزولة نصف قطرها $15\ \text{cm}$ مشحونة بجهد $9.0 \times 10^3\ \text{V}$. أوجد سعتها وشحنتها.
- $C = 4\pi\varepsilon_0 r = \dfrac{0.15}{8.99 \times 10^9} = 1.7 \times 10^{-11}\ \text{F}$، وهي $17\ \text{pF}$.
- $Q = CV = (1.67 \times 10^{-11})(9.0 \times 10^3) = 1.5 \times 10^{-7}\ \text{C}$.
- اختصار مفيد: بما أن $4\pi\varepsilon_0 = 1/(8.99 \times 10^9)$، سعة الكرة ببساطة $r/(8.99 \times 10^9)$ بـ $r$ بالأمتار. تسعة آلاف فولت تخزن سابع ميكروكولوم فقط، لأن الكرة مكثف سيء جداً.
مكثفات متصلة على التوازي
- جميع المكثفات المتصلة على التوازي لها نفس فرق الجهد (p.d.) عبرها، لذا يخزن كل منها $C_nV$ وتجمع الشحنات:
- يكون للمجموعة سعة أكبر من أي مكثف فردي منها، لأن التأثير يشبه زيادة مساحة الصفائح.
التوصيل على التوازي يجمع السعة؛ والتوصيل على التوالي يقللها
مكثفان $2.0\ \mu\text{F}$ و$3.0\ \mu\text{F}$ موصلان على التوازي. ما هي السعة الكلية بوحدة µF؟
في التوصيل على التوازي، تُضاف السعات: $2.0 + 3.0 = 5.0\ \mu\text{F}$.
مكثفان موصلان على التوازي ينتجان سعة مجتمعة تكون:
المكثفات الموصولة على التوازي تُجمع ($C_1 + C_2$) — وهو عكس المقاومات التي تُجمع على التوالي.
كرة معزولة نصف قطرها 0.15 م لها سعة C = 4 pi eps0 r. ما هي C بوحدة picofarads؟ (1/4 pi eps0 = 8.99e9)
C = r / 8.99e9 = 0.15 / 8.99e9 = 1.7e-11 F = 17 pF. الكرة مكثف ضعيف جداً: 9000 فولت تخزن حوالي 0.15 ميكروكولومب فقط.
مكثفات متصلة على التوالي
- جميع المكثفات المتصلة على التوالي تحمل نفس الشحنة، لأن الشحنة المدفوعة إلى صفيحة واحدة يجب أن تخرج من الصفيحة المتصلة بها. تتجمع فروق الجهد، لذا $V = Q/C_1 + Q/C_2$ و:
- يكون للمجموعة سعة أصغر من أي مكثف فردي منها، وكأن تباعد الصفائح قد زاد.
- هذا هو العكس تماماً بالنسبة للمقاومات، وذكر السبب: نفس فرق الجهد للتوازي ونفس الشحنة للتوالي، هو ما تسأله أسئلة "استنتج".
طابق كل ترتيب لمكثفات مع الحقيقة التي تُفسر قاعدة مجموعها.
هاتان الحقيقتان هما ما يطلبه سؤال "استنتج الصيغة"، وهما السبب في أن القواعد معكوسة مقارنة بقواعد المقاومات.
المكثفات الموصولة على التوازي تُجمع، وهي ____ لقاعدة المقاومات.
المقاومات تُجمع على التوالي وتستخدم المقلوبات على التوازي، والمكثفات تفعل العكس. الخلط بينهما هو الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع الفرعي.
مثال محلول: دمج ثلاثة
- مكثف $2.0\ \mu\text{F}$ ومكثف $3.0\ \mu\text{F}$ متصلان على التوازي، وتُربط تلك المجموعة على التوالي مع مكثف $5.0\ \mu\text{F}$. أوجد السعة الكلية.
- الزوج المتصل على التوازي أولاً: $C_{\text{p}} = 2.0 + 3.0 = 5.0\ \mu\text{F}$.
- ثم على التوالي مع $5.0\ \mu\text{F}$: $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{5.0} + \dfrac{1}{5.0} = \dfrac{2}{5.0}$، إذن $C = 2.5\ \mu\text{F}$.
- ابدأ من الداخل إلى الخارج، تماماً كما مع المقاومات، ولكن مع بديل القاعدتين معكوساً. الإجابة النهائية يجب أن تكون أصغر من أي جزء من الزوج المتصل على التوالي، وهذا هو التحقق.
مكثفان 2.0 uF و3.0 uF موصلان على التوازي وموصولان على التوالي مع مكثف 5.0 uF. ما هي السعة الكلية بوحدة uF؟
المجموع المتوازي يعطي 5.0 uF، ثم على التوالي مع 5.0 uF: 1/C = 1/5 + 1/5، إذن C = 2.5 uF. يجب أن يكون الناتج أصغر من أي عنصر على التوالي.
علامات ضائعة
- المكثفات المتصلة على التوازي تُجمع؛ والمكثفات المتصلة على التوالي تستخدم قاعدة المقلوب. هذا عكس المقاومات وهو الخطأ الأكثر شيوعاً هنا.
- التعريف هو الشحنة لكل وحدة فرق جهد، وللمصفوفات هي شحنة صفيحة واحدة.
- الشحنات على الصفيحتين متساوية وعكسية، لذا يكون المكثف محايداً ككل. لا تكتب أبداً $2Q$.
- $C$ ثابت حسب هندسة المكثف. شحنه أكثر لا يغير $C$؛ بل يغير $Q$ و$V$ معاً.
لقد فهمت الأمر
- السعة هي شحنة لكل وحدة فرق جهد، $C = Q/V$، بوحدة فاراد؛ وللمصفوفات هي شحنة صفيحة واحدة
- $C$ يعتمد على الهندسة: مساحة الصفيحة مقسومة على التباعد لمكثف، و$C = 4\pi\varepsilon_0 r$ لكرة معزولة
- على التوازي: نفس فرق الجهد، الشحنات تُجمع، $C = C_1 + C_2$، سعة أكبر
- على التوالي: نفس الشحنة، فروق الجهد تُجمع، $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$، سعة أصغر، عكس المقاومات