الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة
| English | العربية |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | الاتزان |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | تخميد |
أين تذهب الطاقة في أعلى نقطة من التأرجح
- عند أعلى نقطة في التأرجح، تكون متوقفًا تمامًا للحظة. طاقتك الحركية تساوي صفرًا تمامًا.
- بعد لحظة، تكون أسرع مما كنت عليه في أي نقطة أخرى في القوس. لم يدفعك شيء؛ فالطاقة لم تختفِ أبدًا.
- كانت مخزنة في الخزان الكامن، وعادت للخارج مباشرة. التذبذب هو هذا التبادل، يتكرر طالما يسمح الاحتكاك بذلك.
- هذه الدرس是关于动子的能量: كيف يتبادلها، ولماذا مجموعها ثابت، ولماذا يعتمد المجموع على مربع السعة.
التبادل
- عند موضع التوازن، تكون السرعة أكبر، لذا تكون الطاقة الحركية عظمى والطاقة الكامنة في أدنى مستوى لها.
- عند النهايات، يكون المذبوط ساكنًا لحظيًا، لذا تكون الطاقة الحركية صفرًا والطاقة الكامنة في أعلى مستوى لها.
- في المنتصف، يتبادل الاثنان باستمرار. يحدث التبادل مرتين لكل دورة كاملة، لأن المذبوط يمر عبر المركز مرتين.
منحنيان في طور معاكس، وخط أفقي فوقهما
الطاقة الحركية للمهتز تكون أعظم:
السرعة أعظم في الوسط، لذا تذروة KE هناك بينما PE في أدنى مستوى لها.
عند المواضع الطرفية للحركة، جميع الطاقة كامنة.
المهتز متوقف مؤقتًا هناك، لذا KE = 0 وكل الطاقة كامنة.
المجموع الكلي ثابت
- بدون تخميد، لا توجد قوة مقاومة تطرد الطاقة، فإن المجموع الكلي يبقى ثابتًا. هذا تطبيق لقانون حفظ الطاقة على المذبوط.
- أسهل مكان لتقييمه هو في المركز، حيث كل الطاقة حركية والسرعة هي $\omega x_0$:
- في بيانه ضد الإزاحة، الطاقة الحركية عبارة عن قطع مكافئ مقلوب، والطاقة الكامنة قطعه مكافئ مفتوح للأعلى، ومجموعهما خط أفقي.
يجمع القطعان المكافئان قيمة ثابتة عند كل إزاحة
الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة
KE + PE = constant
تتبادل الطاقة بين حركية (أسرع في المركز) وكامنة (قصوى عند الأطراف).
بدون تخميد، تبقى الطاقة الكلية للمهتزة ثابتة.
الطاقة تبديل فقط بين KE وPE؛ مجموعهم محفوظ.
الطاقة والسعة
- نظرًا لأن $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$، فإن الطاقة الكلية تتناسب طرديًا مع مربع السعة.
- ضعف السعة وتصبح الطاقة أربعة أضعاف. ضاعفها ثلاثة وأصبحت الطاقة تسعة أضعاف.
- هذه هي العلاقة التي يختبرها الامتحان أكثر من غيرها، والإجابة بـ "ضعف" لسعة مضاعفة هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع الفرعي.
إذا تضاععت السعة، تصبح الطاقة الكلية للمهتز:
$E \propto x_0^{2}$، لذا فإن مضاعفة $x_0$ تعطي $2^{2} = 4$ من الطاقة.
تضاعفت سعة مهتز غير مخمد. ماذا يحدث لطاقة الكلية له؟
E يتناسب مع مربع السعة، من E = m omega^2 x0^2 / 2. الإجابة بـ "ضعف" هي الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع الفرعي.
مثال محلول: إيجاد الطاقة الكلية
- مذبوط كتلته $0.20\ \text{kg}$ له تردد زاوي $10\ \text{rad/s}$ وسعة $0.050\ \text{m}$. أوجد طاقته الكلية وطاقته الحركية عند إزاحة مقدارها $0.030\ \text{m}$.
- الكلية: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- عند $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$، إذن $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- الطاقة الكامنة هناك هي الفرق، $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. استخدام المجموع الثابت للحصول على الطاقة الثانية أسرع وأكثر أمانًا من استخدام معادلة منفصلة.
لدى مهتز $m = 0.20\ \text{kg}$، $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ وسعة $0.10\ \text{m}$. ما هي طاقته الكلية؟
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
لهز كتلته 0.20 كجم وomega = 10 rad/s وسعة 0.050 m. ما هي طاقته الكلية، بالجول؟
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J. التقييم عند المركز، حيث تكون كل الطاقة حركية، هو المسار الأسرع.
إذا كانت الطاقة الكلية 0.025 J والطاقة الحركية عند إزاحة معينة 0.016 J، فإن الطاقة الكامنة هناك هي ____ J.
المجموع ثابت، لذا فالطاقة الكامنة هي ببساطة الطاقة الكلية ناقص الطاقة الحركية. هذه الطرح أسرع وأكثر أماناً من استخدام صيغة منفصلة.
مثال محلول: قراءة بيانات الطاقة
- ارسم كيف تتغير الطاقة الحركية والطاقة الكامنة والطاقة الكلية لمذبوط غير مثبط بدلالة الإزاحة.
- الطاقة الحركية: عظمى عند $x = 0$، تنخفض إلى الصفر عند $x = \pm x_0$، وهي قطع مكافئ مقلوب.
- الطاقة الكامنة: صفر عند $x = 0$، ترتفع لتصل إلى العظمى عند $x = \pm x_0$، وهي قطع مكافئ مفتوح للأعلى، وصورة مرآة لل الأولى.
- المجموع: خط أفقي عند قيمة إحدى العظمى، لأن المنحنيين يجمعان دائمًا نفس المقدار.
- مقابل الزمن بدلاً من الإزاحة، كلا المنحنيين لا يزال لهما شكل قطع مكافئ في الطاقة لكنهما الآن يتذببان بتردد ضعف تردد الإزاحة، لأن ذروة الطاقة تحدث مرتين في الدورة.
صل كل طاقة لمهتز غير مخمد برسمها البياني مقابل الإزاحة.
القطعان المكافئان مرآة لبعضهما البعض، لذا يجمعان في نفس القيمة عند كل إزاحة. هذا الخط الأفقي هو تجسيد لحفظ الطاقة.
عند رسمها ضد الزمن، تتكرر الطاقة الحركية للمهتز بضعف تردد الإزاحة.
يمر المهتز بالمركز مرتين في كل دورة، لذا تتكرر ذروة الطاقة الحركية مرتين في الدورة بينما تظهر الذروة مرة واحدة للإزاحة.
طاقة مقابل الزمن تتحرك بضعف التردد
- ارسم الإزاحة مقابل الزمن فستحصل على دورة واحدة لكل فترة. ارسم الطاقة الحركية مقابل الزمن فستحصل على اثنتين.
- السبب هو التربيع. الطاقة الحركية تعتمد على $v^2$، و$v$ تمر بعظمى مقدارها مرتين في كل دورة، مرة في كل اتجاه.
- لذلك يكمل كلا منحنيين الطاقة ذرتين عظمى في كل تذبذب، وترددهما ضعف تردد الإزاحة.
- المنحنان هما صورة مرآة دقيقة لبعضهما البعض حول خط نصف المجموع، ومجموعهما خط أفقي عند الطاقة الكلية.
- سؤال الرسم هنا يُدرج على ثلاثة things: التردد المضاعف، وكلا المنحنيين خارج الطور بمقدار نصف دورتهما، والمجموع المسطح.
تتغير الطاقة الحركية للمهتز بضعف تردد إزاحته.
KE تعتمد على مربع v، وتصل السرعة إلى قيمتها العظمى مرتين في كل دورة، مرة في كل اتجاه. تفعل الطاقة الكامنة نفس الشيء، ويجمعهما خط أفقي.
علامات ضائعة
- الطاقة تتناسب مع مربع السعة. مضاعفة السعة تعطي أربعة أضعاف الطاقة، وليس ضعفها.
- الطاقة الحركية عظمى في المركز، الكامنة في النهايات. لا تقبض بينهما.
- مقابل الزمن، تتكرر منحنيات الطاقة بتردد ضعف تردد الإزاحة، لأنه يوجد ذروتان للطاقة في كل تذبذب.
- المجموع ثابت فقط عندما لا يوجد تخميد. قل ذلك عندما يذكر السؤال قوى مقاومة.
لقد فهمت الأمر
- الطاقة الحركية عظمى في المركز وصفر عند النهايات; الطاقة الكامنة تفعل العكس، ويتبادلون مرتين في الدورة
- بدون تخميد فإن المجموع ثابت: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$، تُحسب بسهولة في المركز حيث كل الطاقة حركية
- مقابل الإزاحة، الطاقات عبارة عن قطعين مكافئين متعاكسين مجموعهما خط أفقي
- $E \propto x_0^2$: ضعف السعة، أربعة أضعاف الطاقة