الحركة التوافقية البسيطة
| English | العربية |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | الحركة التوافقية البسيطة |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | إزاحة |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | الاتزان |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | السعة |
| period/ˈpɪərɪəd/ | الدور |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | التردد |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | التردد الزاوي |
المصباح الذي علّم العالم كيفية الحفاظ على الوقت
- في عام 1583، طالب في كاتدرائية بيزا، شعر بالملل خلال خطبة، قاس وقت مصباح متذبذب مقابل نبضاته. سواء تحرك المصباح بعرض أو ضيق، كان كل اهتزاز يستغرق نفس الوقت.
- هذا ليس واضحاً وليس صحيحاً لمعظم الحركات. إنه صحيح كلما نمت قوة الإرجاع بنسبة إلى مقدار إزاحة الجسم، وهذا الشرط الواحد يُعرّف الموضوع بأكمله.
- أصبح ملاحظة غاليليو ساعة البندول، وكل ساعة在接下来的 300 سنة.
- هذه الدرس هو الحركة التوافقية البسيطة: معادلته التعريفية، والكلمات التي تصفها، وكيفية قراءة $\omega$ من الرسم البياني.
التعريف
- يتحرك جسم بـ حركة توافقية بسيطة عندما تكون تسارعه متناسباً مع إزاحته من نقطة ثابتة، وموجهاً دائماً نحو تلك النقطة.
- كلا الجزأين مطلوبة للحصول على العلامتين. "متناسب مع الإزاحة" وحده يصف قوة تدفعه أبعد فقط بنفس القدر.
- بالرموز، مع الإشارة السالبة تحمل "نحو موضع التوازن":
إزاحة لليمين، تسارع لليسار؛ إزاحة لليسار، تسارع لليمين
في الحركة التوافقية البسيطة، التسارع يكون:
هذا هو بالضبط $a = -\omega^{2}x$ — إزاحة أكبر، سحب عود أكبر؛ دائمًا نحو المنتصف.
تعريف كامل للحركة التوافقية البسيطة يتطلب أي العبارات؟ حدد جميع الخيارات الصحيحة.
هاتان العبارتان هما التعريف وتحملان كلا الدرجتين. الدور الثابت هو نتيجة لهما، والسرعة ليست ثابتة بالتأكيد.
مفردات
- الإزاحة $x$: المسافة من موضع التوازن، مع اتجاه. السعة $x_0$: أقصى إزاحة.
- الدورة $T$: الوقت لإهتزاز كامل واحد. التردد $f = 1/T$: الاهتزازات في الثانية، بالهرتز.
- التردد الزاوي $\omega$: يربط بين الاثنين، $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. بمعلومية أي واحد من $\omega$، $f$ و$T$ يمكنك إيجاد الباقي، ومعظم الأسئلة تبدأ بفعل ذلك بالضبط.
أرج نواسًا
اجعله يتأرجح، ثم غيّر زاوية البداية — الوقت لارجاع واحد يبقى كما هو (هذا ما يجعله ساعة جيدة). الآن اجعل الحبل أطول، أو انتقل إلى القمر، وشاهد تغير الدور.
اهتزاز له دور $2.0\ \text{s}$. ما هو تردده الزاوي $\omega$؟
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
الإزاحة مع الزمن
- بدءاً من موضع التوازن عند $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. بدءاً من أحد الطرفين المتطرفين: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- ما تستخدمه يعتمد فقط على أين يبدأ الحركة. اقرأ الشرط الافتتاحي للسؤال قبل الاختيار.
- الرسم البياني هو منحنى جيب بسعة $x_0$ ودورة $T$، وتكرر الحركة تماماً.
دورة واحدة، دورة كاملة واحدة، ثم نفس الشيء مجدداً
السرعة في أي مكان في الحركة
- السرعة عند إزاحة $x$، دون الحاجة للزمن:
- عند المركز، $x = 0$، هذا يعطي أقصى سرعة $v_{\text{max}} = \omega x_0$. عند الأطراف المتطرفة، $x = \pm x_0$، يعطي صفراً.
- هذا هو النمط الذي يجب أن تمسك به: الأسرع في الوسط، متوقف لحظياً عند كل طرف، والتسارع هو العكس تماماً، صفراً في الوسط وأكبره عند الأطراف.
في الحركة التوافقية البسيطة تكون السرعة أعظم في وضع ____.
في المنتصف جميع الطاقة حركية، لذا السرعة قصوى ($v = \omega x_0$).
عند أطراف الحركة ($x = \pm x_0$)، السرعة صفر.
يتوقف المهتز لحظة عند كل طرف قبل الانعكاس — سرعة صفر، تسارع أقصى.
له اهتزاز سعة $0.10\ \text{m}$ و$\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ما هي سرعته القصوى؟
السرعة القصوى $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
طابق كل كمية بأين في الاهتزاز تكون أعظم.
السرعة والتسارع يذروان في أماكن متقابلة، ولا يكونان دائمًا أقصى قيمة في نفس اللحظة.
مثال محلول: من الدورة إلى أقصى سرعة
- كتلة تهتز بدورة قدرها $2.0\ \text{s}$ وسعة قدرها $0.10\ \text{m}$. أوجد أقصى سرعة لها وأقصى تسارع لها.
- أولاً $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. casi every SHM question begins here.
- أقصى سرعة، عند المركز: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- أقصى تسارع، عند الأطراف المتطرفة: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- لاحظ أين يحدث كل أقصى قيمة. سؤال يطلب "عند أي إزاحة" يريد المركز للسرعة والأطراف للتسارع.
له اهتزاز دور 2.0 ثانية وسعة 0.10 متر. ما هي سرعته القصوى بوحدة م/ث؟
أوميغا = 2 باي / T = 3.14 راد/ثانية، والسرعة القصوى v_max = أوميغا × x0 = 0.31 م/ث، وتحدث عند المركز. التسارع الأقصى، عند الأطراف، يساوي أوميغا تربيعاً في x0 = 0.99 م/ث^2.
قراءة رسم بياني التسارع-الإزاحة
- لأن $a = -\omega^2 x$، فإن رسم بياني للتسارع مقابل الإزاحة يكون خطاً مستقيماً يمر بنقطة الأصل مع ميل سالب.
- الميل هو $-\omega^2$، إذن $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ ثم $T = 2\pi/\omega$.
- هذا هو الطريقة القياسية التي يعطيك بها الامتحان $\omega$ دون ذكرها. خط مستقيم يمر بنقطة الأصل بميل سالب هو أيضاً الطريقة القياسية لسؤالك لإثبات أن الحركة توافقية بسيطة.
مستقيم، يمر بنقطة الأصل، سالب: الثلاثة مهمون
على رسم بياني للتسارع مقابل الإزاحة للحركة التوافقية البسيطة، الميل يساوي:
$a = -\omega^{2}x$ هو خط مستقيم ميله $-\omega^{2}$، لذا $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$.
مثال محلول: هل هي حركة توافقية بسيطة؟
- قياسات لتسارع عربة عند إزاحات مختلفة تعطي خطاً مستقيماً يمر بنقطة الأصل بميل $-25\ \text{/s}^2$. أثبت أن الحركة توافقية بسيطة وأوجد الدورة.
- الرسم البياني هو خط مستقيم، إذن $a \propto x$؛ يمر عبر نقطة الأصل، إذن لا يوجد حد ثابت؛ وميله سالب، إذن التسارع موجّه نحو موضع التوازن. هذه الحقائق الثلاث هي التعريف، لذا الحركة توافقية بسيطة.
- الميل هو $-\omega^2 = -25$، إذن $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ و$T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
رسم بياني لتسارع-إزاحة لمهتز هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل ميله -25 لكل ثانية مربعة. ما هو الدور بالثواني؟
الميل هو minus omega تربيع، لذا omega = 5.0 راد/ثانية و T = 2 pi / 5.0 = 1.3 ثانية. الخط المستقيم، المار بنقطة الأصل والسالب هو أيضًا دليل على أن الحركة توافقية بسيطة.
علامات ضائعة
- التعريف يحتاج كلا الجزأين: متناسب مع الإزاحة و موجّه نحو نقطة ثابتة. الإشارة السالبة هي ما يحمل الجزء الثاني.
- $\omega$ هي بوحدة rad s$^{-1}$، لا هرتز. حول باستخدام $\omega = 2\pi f$ قبل التعويض.
- السرعة تكون أكبر عند المركز؛ التسارع يكون أكبر عند الأطراف المتطرفة. نادراً ما يكونان最大值 معاً.
- اختر الجيب أو جيب التمام من حيث تبدأ الحركة، ليس بالعادة.
لقد فهمت الأمر
- الحركة التوافقية البسيطة: تسارع متناسب مع الإزاحة وموجه نحو نقطة ثابتة، إذن $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$، ومعظم الأسئلة تبدأ بإيجاد $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ من المركز أو $x_0\cos\omega t$ من الطرف المتطرف؛ $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$، إذن $v_{\text{max}} = \omega x_0$ عند المركز و$a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ عند الأطراف
- بيانه تسارع-إزاحة مستقيم، يمر بنقطة الأصل وسالب يثبت وجود حركة توافقية بسيطة (SHM)، وميله يساوي $-\omega^2$