التفاضل
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | قاعدة القوة |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | قاعدة السلسلة |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | النقطة الساكنة |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة الثانية |
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | التحسين |
سرعة التغير
- كم تتسارع صاروخ في اللحظة الدقيقة التي ينفذ فيها وقوده؟ كم ميلان دوار الجبال عند أعلى نقطة له؟
- الاشتقاق يجيب على هذه الأسئلة — فهو يجد معدل التغير اللحظي عند أي نقطة على المنحنى.
قاعدة القوة وقاعدة السلسلة
- الاشتقاق يجد ميل المنحنى عند كل نقطة — وهو المشتقة $f'(x)$ أو $\dfrac{dy}{dx}$.
- قاعدة القوة: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (أي عدد نسبي $n$).
- قاعدة السلسلة لدالة داخل دالة أخرى: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
المشتقة $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ تعطي الميل عند أي نقطة: عند $x = 2$، يكون الميل $4$.
مثال محلول. $y = (3x+1)^4$. لنكن $u = 3x+1$، إذن $y = u^4$. قاعدة السلسلة: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx = f ′(x)
حرك النقطة على طول المنحنى — ميل المماس هو الميل f ′(x) عند تلك النقطة.
إذا كانت y = x³، فإن dy/dx = 3x². ما هو الميل عند x = 2؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12.
إذا كانت y = (2x + 1)³، فإن dy/dx = 6(2x + 1)². ما هي قيمة dy/dx عند x = 1؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54.
النقاط الثابتة
- النقطة الثابتة هي حيث $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (المماس أفقي).
- الاختبار باستخدام المشتقة الثانية:
- $f''(x) > 0$ → حد أدنى,
- $f''(x) < 0$ → حد أقصى.
- أيضًا: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → تزايد؛ $< 0$ → تناقص.
لا تنسَ قاعدة السلسلة. عند اشتقاق $(ax+b)^n$، يجب أن تضرب في مشتقة الداخل: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$، وليس مجرد $n(ax+b)^{n-1}$.
عند الحد الأقصى أو الأدنى يكون الميل dy/dx مساويًا للصفر
للمنحنى y = x² − 6x + 5 نقطة ثابتة. عند أي قيمة x؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 تعطي x = 3.
عند نقطة ثابتة، إذا كانت المشتقة الثانية f″(x) > 0، فإن النقطة تكون:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f″ > 0 يعني أن المنحنى ينحني للأعلى — حد أدنى؛ f″ < 0 يعطي حد أعلى.
إذا كانت dy/dx > 0 لجميع قيم x في فترة معينة، فإن الدالة متزايدة في تلك الفترة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة الموجبة تعني أن الدالة تصاعدية — فهي متزايدة.
بالنسبة لـ y = x³ − 6x² + 9x + 2، فإن المشتقة الثانية عند x = 3 هي:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d²y/dx² = 6x − 12. عند x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0، لذا فهو حد أدنى.
مثال محلول — إيجاد النقاط الثابتة
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- النقاط الثابتة عند $x = 1$ و$x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: عند $x=1$، $f'' = -6 < 0$ (حد أقصى)؛ عند $x=3$، $f'' = 6 > 0$ (حد أدنى).
تطبيقات الاشتقاق
- التحسين: إيجاد الربح الأقصى أو التكلفة الدنيا عن طريق جعل $\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- معدلات التغير: السرعة هي مشتقة الإزاحة؛ التسارع هو مشتقة السرعة.
- رسم المنحنيات: النقاط الثابتة وإشارة $\dfrac{dy}{dx}$ تكشف عن الشكل.
- تعطي المشتقة أيضًا ميل الأعمدة (العمودية على المماس).
لقد فهمت الأمر
- قاعدة القوة: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$؛ قاعدة السلسلة للدوال المتداخلة
- نقطة ثابتة: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- اختبار المشتقة الثانية: $f'' > 0$ حد أدنى، $f'' < 0$ حد أقصى
- تزايد عندما $\dfrac{dy}{dx} > 0$؛ تناقص عندما $\dfrac{dy}{dx} < 0$