التكامل
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | التكامل |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ثابت التكامل |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل المحدد |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | حجم الجسم الدوار |
المساحة تحت المنحنى
- كم الوقود الذي يحرقه صاروخ إذا كان دفعه يتغير مع الوقت؟ كم مساحة أرض زراعية منحنية تغطي؟
- التكامل يجيب على هذه الأسئلة — فهو يجد الكمية الكلية المتراكمة من معدل تغير.
التكامل غير المحدود
- التكامل يعكس عملية الاشتقاق:
- الـ $+\,C$ هو ثابت التكامل — يُستخرج من نقطة معروفة.
مثال محلول. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. إذا كانت المنحنى تمر عبر $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$، إذن $C = 4$ و $y = x^3 + 4$.
التكامل المحدود يقيس المساحة المظللة بين المنحنى ومحور x
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
اسحب الحدود a و b — المساحة المظللة بين المنحنى ومحور x هي التكامل المحدد.
لماذا يتضمن التكامل غير المحدد "+ C"؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تفاضل الثابت يعطي 0، لذا قد يكون الأصلي يحتوي على أي ثابت — ومن هنا يأتي + C.
إذا كانت dy/dx = 4x والمنحنى يمر بالنقطة (1, 7)، فما قيمة C في y = 2x² + C؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
y = 2x² + C. عند (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5.
التكاملات المحدودة
- التكامل المحدود يعطي رقماً: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- المساحة تحت المنحنى من $p$ إلى $q$ هي $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (للمنحنيين، اجمع العلوي - السفلي).
التكامل المحدود $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. المساحة المظللة تساوي $9$ وحدة مربعة.
المساحة أسفل محور x تكون سالبة. إذا نزل المنحنى تحت المحور، يعطي التكامل قيمة سالبة. لإيجاد المساحة الكلية، قسّم عند الجذور وأخذ القيمة المطلقة لكل جزء.
احسب التكامل المحدد لـ 2x من 0 إلى 3 (∫₀³ 2x dx).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫2x dx = x²، إذن [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
احسب ∫₀² 3x² dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x² dx = x³، إذن [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
إذا كان المنحنى أسفل محور x، فإن التكامل المحدد يعطي قيمة سالبة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المساحة أسفل محور x تساهم سلباً في التكامل. خذ القيمة المطلقة لإيجاد المساحة الفعلية.
حجم الدوران
- حجم الدوران حول محور $x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- تخيله كترتيب لا نهائي من الأقراص الرقيقة نصف قطرها $y$ وسُمكها $dx$.
تدوير المنطقة تحت المنحنى حول محور x ينتج مجسماً، يُجمع كأقراص رقيقة
حجم الدوران لـ y = x حول محور x من 0 إلى 2 هو π∫₀² x² dx. أوجد القيمة (بدون π).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67.
مثال محلول
- أوجد المساحة تحت $y = x^2$ من $x = 0$ إلى $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- التكامل غير الصحيح له حد لانهائي أو تكامل غير محدود.
لقد فهمت الأمر
- التكامل يعكس الاشتقاق؛ تذكر الـ $+\,C$
- التكامل المحدود $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = المساحة تحت المنحنى
- حجم الدوران حول محور $x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- المساحة أسفل المحور سالبة — قسّم وأخذ القيم المطلقة للمساحة الكلية