سلسلة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | يتقارب |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | متسلسلة هندسية |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | توسع ذات الحدين |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل ذات الحدين |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | متتالية حسابية |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | التسلسل الهندسي |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | المجموع إلى ما لا نهاية |
المجموع اللانهائي المتقارب
- أضف $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ إلى ما لا نهاية. المجموع الكلي؟ بالضبط $2$.
- هذا متتالية هندسية بنسبة $\dfrac{1}{2}$. ليست كل المجموع اللانهائية تتصرف بهذا الشكل الجميل — لكن تلك التي تفعل ذلك تُعد أدوات قوية في التمويل والفيزياء والحوسبة.
مفكوك ذات الحدين
- لعدد صحيح موجب $n$:
- حيث $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ هو معامل ذي حدين.
مثال محلول. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. المعاملات $1, 4, 6, 4, 1$ هي الصف 4 من مثلث باسكال.
ما هو معامل ذات الحدين C(5, 2) = 5! / (2! 3!)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
المتتاليات الحسابية (AP)
- تضيف AP مقدارًا ثابتًا الفرق المشترك $d$ في كل خطوة: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- الحد $n$: $u_n = a + (n-1)d$.
- مجموع أول $n$ حدود: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
متتالية حسابية حدّها الأول a = 3 والفرق المشترك d = 4. ما هو الحد 5؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
متتالية حسابية a = 2 و d = 3. ما هو مجموع أول 5 حدود؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
المتتاليات الهندسية (GP)
- تضرب GP في مقدار ثابت النسبة المشتركة $r$ في كل خطوة: $a, ar, ar^2, \ldots$
- الحد $n$: $u_n = ar^{n-1}$.
- مجموع أول $n$ حدود: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (لـ $r \neq 1$).
تنمو AP خطيًا (إضافة $d$)؛ تنمو GP أسيًا (ضرب في $r$). بالنسبة لـ $r > 1$، ستصبح GP لاحقًا أكبر بكثير من AP.
بناء تسلسل
uₙ = a · rⁿ⁻¹
كل حد يضرب في r. عندما تكون |r| < 1 تتناقص الحدود ويتقارب المجموع إلى ما لا نهاية.
متتالية هندسية حدّها الأول a = 2 والنسبة r = 3. ما هو الحد 4؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
المجموع إلى ما لا نهاية
- تتقارب GP عندما $|r| < 1$ — تصبح الحدود أصغر فأصغر.
- المجموع إلى ما لا نهاية: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ أمر أساسي. إذا كان $|r| \geq 1$، فإن الحدود لا تتناقص ويبتعد المجموع اللانهائي (ينمو بلا حدود). صيغة $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ تنطبق فقط عندما تكون المتتالية متقاربة.
- للمتتالية الحسابية فرق مشترك؛ للمتتالية الهندسية نسبة مشتركة. المتتالية الهندسية المتقاربة ($|r|<1$) تُظهر التقارب نحو مجموع إلى ما لا نهاية.
متتالية هندسية a = 8 و r = 0.5. ما هو المجموع إلى ما لا نهاية؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
سلسلة هندسية بـ r = 1.5 لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
صيغة المجموع إلى ما لا نهاية تطبق فقط عندما تكون |r| < 1. مع r = 1.5، السلسلة متباعدة.
صل كل صيغة بما تحسبه.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يُرمز للحسابي بـ d وللهندسي بـ r — والتعرف على الصيغة يُعد نصف السؤال في الامتحان.
لقد فهمت الأمر
- مفكوك ذات الحدين: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$، $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$، $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- إذا $|r|<1$، المجموع إلى ما لا نهاية $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$