مثلثات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | مثلثي |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | قوالب |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | متطابقات |
رياضيات الحلقات
- المد والجزر، موجات الصوت، التيار المتردد، مدارات الكواكب — كل ذلك يُوصف بدوال مثلثية.
- موجات الجيب وجيب التمام هي اللبنات الأساسية للحركة الدورية. أتقنها ويمكنك نمذجة أي شيء متكرر.
بيانيات sin و cos و tan
- $\sin$ و $\cos$ تتذببان بين $-1$ و $1$ وتتكرر كل $360^\circ$ (أو $2\pi$ راديان).
- $\tan$ تتكرر كل $180^\circ$ (أو $\pi$ راديان) ولديها مقارب رأسية عند $90^\circ$ و $270^\circ$.
الدائرة الوحدة: $\cos\theta$ هو الإحداثي $x$، $\sin\theta$ هو الإحداثي $y$. بما أن $x^2 + y^2 = 1$، نحصل على $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
الدائرة الوحدة
(cos θ, sin θ)
لف الزاوية θ حول الدائرة: الضلع الأفقي هو cos θ والضلع العمودي هو sin θ.
القيم الدقيقة
- احفظ هذه بدون الآلة الحاسبة:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | غير معرف |
خدعة الذاكرة. تتبع قيم الجيب النمط $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ لـ $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. جيب التمام هو العكس.
عجلة دوارة: نقطة على الحافة تتحرك للأعلى والأسفل مثل منحنى الجيب
منحنيات الجيب وجيب التمام
اسحب السعة والدورة والإزاحات لـ y = a·sin(bx + c) + d ولاحظ تغير المنحنى مقابل الموجة الأساسية.
ما هي القيمة الدقيقة لـ sin 30°؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0.5.
ما هي قيمة tan 45°؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1.
ما هي القيمة الدقيقة لـ cos 60°؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 = 0.5.
المتطابقات الرئيسية
- المتطابقتان الأساسيتان: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ و $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$.
- هاتان تسمحان لك بالتحويل بين الدوال وتبسيط التعبيرات.
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$، وليس $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$. المتطابقة تتعلق بمجموع المربعات، وليس مربع المجموع. هذا خطأ شائع في الامتحانات.
sin و cos تتذببان بين -1 و 1؛ tan تنكسر عند 90 و 270 درجة
أي زاوية θ، كم يساوي sin²θ + cos²θ؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
هذه هي المتطابقة sin²θ + cos²θ ≡ 1.
أي متطابقة صحيحة؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
tan θ ≡ sin θ / cos θ؛ و sin²θ + cos²θ ≡ 1.
حل المعادلات المثلثية
- لحل معادلة مثلثية: اختزلها إلى دالة واحدة (غالباً تربيعية في $\sin$ أو $\cos$)، ثم أوجد كل الحلول في الفترة المعطاة.
- استخدم تماثل الرسم البياني: إذا كان $\sin\theta = k$ له حل $\theta = \alpha$، فإن $\theta = 180^\circ - \alpha$ هو أيضاً حل.
- حل المعادلات المثلثية؛ استخدم الدوال العكسية $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (العلاقات المثلثية العكسية)، والتي تعطي القيم الرئيسية.
إذا كان sin θ = 0.5 و 0° ≤ θ ≤ 360°، فإن θ = 30° هو الحل الوحيد.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin θ = 0.5 له أيضاً حل θ = 180° − 30° = 150° في النطاق المعطى.
لقد فهمت الأمر
- $\sin, \cos$ تبقى في $[-1, 1]$، تتكرر كل $360^\circ$؛ اعرف القيم $30/45/60$ الدقيقة
- متطابقات: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$، $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- حل عن طريق اختزاله إلى دالة مثلثية واحدة، ثم إيجاد جميع الحلول في الفترة