القياس الدائري
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | راديان |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | طول القوس |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | مساحة القطاع |
| segment/ˈseɡmənt/ | قطعة دائرية |
لماذا الراديان؟
- المهندسون يقيسون الزوايا بالدرجات. الرياضيون يفضلون الراديان — ولأسباب جيدة.
- الراديان هو الوحدة الطبيعية: إنه الزاوية التي تقطع قوساً مساوياً لنصف القطر.
- مع الراديان، تصبح صيغ طول القوس ومساحة القطاع بسيطة بشكل مذهل.
ما هو الراديان؟
- الراديان هو الزاوية التي تقطع قوساً مساوياً لنصف القطر.
- الارتباط: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- درجات ← راديان: اضرب في $\dfrac{\pi}{180}$؛ راديان ← درجات: اضرب في $\dfrac{180}{\pi}$.
التحويلات الشائعة. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ راديان؛ $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ راديان؛ $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ راديان؛ $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ راديان.
كم عدد الدرجات في π راديان؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
حسب التعريف، π راديان = 180°.
60° بالراديان هي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
طول القوس ومساحة القطاع
- لقطاع نصف قطره $r$ وزاويته $\theta$ بالراديان:
- طول القوس $s = r\theta$,
- مساحة القطاع $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
أناقة الراديان: طول القوس $= r\theta$ ومساحة القطاع $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. لا حاجة لكسور $\dfrac{\theta}{360}$ معقدة.
الراديان فقط. الصيغ $s = r\theta$ و $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ تعمل فقط عندما تكون $\theta$ بالراديان. إذا كانت زاويتك بالدرجات، فحول أولاً.
المقطع الدائري
s = rθ · A = ½r²θ
اسحب الزاوية θ (بالراديان) ونصف القطر r — يتبع طول القوس ومساحة المقطع.
مقطع دائري نصف قطره 5 وزاويته 2 راديان. ما هو طول القوس (s = rθ)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ = 5 × 2 = 10.
مقطع دائري نصف قطره 4 وزاويته 0.5 راديان. ما هي مساحته (A = ½r²θ)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
الصيغة s = rθ تعمل عندما يُقاس θ بالدرجات.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ تعمل فقط عندما يكون θ بالراديان. حول الدرجات إلى راديان أولاً.
مساحة المقطع
- المقطع هو المنطقة بين وتر وقوس.
- مساحة المقطع = قطاع − مثلث = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- مساحة المثلث هي $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (باستخدام قانون الجيب للمساحة).
مماس يلمس الدائرة مرة واحدة ويكون عمودياً على نصف القطر هناك
قطعة دائرية نصف قطرها r = 6 وزاويتها θ = π/3 راديان. مساحة القطعة هي ½r²(θ − sin θ). أوجد المساحة (2 خانات عشرية).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26.
مثال محلول
- قطاع: $r = 5$، $\theta = 2$ راد.
- طول القوس $= 5 \times 2 = 10$.
- مساحة القطاع $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- مساحة المقطع $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
لقد فهمت الأمر
- $\pi$ راديان $= 180^\circ$؛ حوّل بواسطة $\times\dfrac{\pi}{180}$ أو $\times\dfrac{180}{\pi}$
- طول القوس $s = r\theta$؛ مساحة القطاع $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ بالراديان)
- مقطع $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$