هندسة إحداثيات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | الميل |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودي |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | منتصف |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | منصف عمودي |
| tangent/ˈtændʒənt/ | مماس |
رياضيات الموقع
- أقمار GPS تحدد موقعك بدقة بضعة أمتار باستخدام الهندسة الإحداثية.
- كل خريطة، وكل مخطط هندسي، وكل رسومات حاسوبية تعتمد على نفس الأفكار الأساسية: خطوط، دوائر، والمسافات بين النقاط.
الخطوط المستقيمة
- الميل للخط عبر $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- معادلات الخطوط: $y = mx + c$ (صيغة الميل والقاطع)، أو $y - y_1 = m(x - x_1)$ (صيغة النقطة والميل).
- الخطوط الموازية لها ميل متساوٍ؛ الخطوط العمودية ميلها يضرب في بعضهما ليعطي $-1$.
مثال محلول. خط عبر $(2, 3)$ و$(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. المعادلة: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
فخ ميل عمودي. إذا كان للخط ميل $2$، فالميل العمودي هو $-\dfrac{1}{2}$، وليس $-2$. عليك قلب الكسر وتغيير الإشارة.
الخط المستقيم
y = ax + b
الميل a يميل الخط؛ المقطع b ينزعه للأعلى والأسفل.
ما هو ميل الخط المار بالنقطتين (2, 3) و (6, 11)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
خط له ميل 2. ما هو ميل خط عمودي عليه؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مضروب الميول العمودية يساوي -1، لذا الميل هو -1/2 = -0.5.
المنتصفات والخطوط المتوازية
- منتصف $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هو $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- المحور العمودي يمر عبر المنتصف بميل عمودي.
الإحداثي x لنقطة المنتصف بين (2, 3) و (8, 7) هو:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
منتصف x = (2 + 8)/2 = 5.
الدوائر
- دائرة، مركزها $(a, b)$، نصف قطرها $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- الصيغة الموسعة (مثل $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → إكمال المربع في $x$ و $y$ لإيجاد المركز ونصف القطر.
المعادلة $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ تصف دائرة مركزها $(3, -2)$ ونصف قطرها $5$.
ما هو نصف قطر الدائرة (x − 3)² + (y + 2)² = 25؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 25، لذا r = 5؛ المركز هو (3, −2).
دائرة x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 مركزها:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
اكمل المربع: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. المركز هو (3, −5).
المماسات للدوائر
- المماس يلمس الدائرة مرة واحدة ويكون عمودياً على نصف القطر هناك.
- هذه حقيقة الزاوية القائمة تحل معظم مسائل الدوائر: أوجد ميل نصف القطر، ثم يكون ميل المماس $-\dfrac{1}{m}$.
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا الحقيقة الزاوية اليمنى تحل معظم مسائل الدوائر.
لقد فهمت الأمر
- الميل $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$؛ يتكافئ ميلان عموديان حاصل ضربهما $-1$
- دائرة: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$، مركزها $(a,b)$، نصف قطرها $r$
- المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس
- منتصف $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$