الدوال
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | دالة |
| domain/dəˈmeɪn/ | مجال التعريف |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | تركيب |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | دالة عكسية |
| one-one/wʌn wʌn/ | تقابل أحادي |
اختبار آلة البيع الآلي
- آلة البيع الآلي تأخذ رمزًا واحدًا وتعطي وجبة خفيفة واحدة بالضبط. إذا كان الرمز A7 يعطي أحيانًا رقائق وأحيانًا شوكولاتة، فهي معطلة.
- الدالة تعمل بنفس الطريقة: كل مدخل يرتبط بمخرج واحد بالضبط. هذه القاعدة البسيطة هي أساس التفاضل والتكامل بأكمله.
الدوال، المجال والمدى
- الدالة $f(x)$ ترسل كل مدخل إلى مخرج واحد بالضبط.
- المجال = المدخلات المسموحة؛ المدى = المخارج المنتجة.
- مثال: $f(x) = \sqrt{x}$ مجالها $x \geq 0$ ومداها $f(x) \geq 0$.
قيود المجال. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ مجالها $x \neq 3$ (القسمة على الصفر غير معرفة). المدى هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء $0$.
استكشف دالة
y = ax³ + bx² + cx + d
تحول الدالة كل مدخل إلى خرج واحد بالضبط — اسحب المعاملات ولاحظ أين يرتفع المنحنى وينخفض.
نطاق دالة f(x) = √(x − 4) هو:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 4 ≥ 0، لذا x ≥ 4.
التركيب والمقلوب
- الدالة تكون واحد لواحد إذا كانت المدخلات المختلفة تعطي دائمًا مخارج مختلفة — فقط حينها يكون لها مقلوب $f^{-1}$.
- التركيب $fg(x) = f(g(x))$ — قم بـ $g$ أولاً، ثم $f$.
إذا كانت f(x) = x² و g(x) = x + 1، فما هي fg(2) = f(g(2))؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
g(2) = 3، ثم f(3) = 3² = 9.
فقط الدالة الأحادية (one-one) لديها دالة معكوسة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لو أعطى مدخلان نفس الخرج، لقاعدة العكس أن تكون غامضة — لذا فقط الدوال الأحادية قابلة للعكس.
إيجاد المقلوب
- لإيجاد $f^{-1}$: اكتب $y = f(x)$، واجعل $x$ موضوع المعادلة، ثم استبدل الأحرف.
- مثال: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- بياني لـ $y = f^{-1}(x)$ هو انعكاس لـ $y = f(x)$ في الخط $y = x$.
الدوال العكسية هي انعكاسات في $y = x$: النقطة $(a, b)$ على $f$ تصبح $(b, a)$ على $f^{-1}$.
ليست كل الدوال لها مقلوب. $f(x) = x^2$ ليست واحد لواحد (كل من $2$ و$-2$ يعطي $4$)، لذا ليس لها مقلوب إلا إذا قمت بتقييد المجال إلى $x \geq 0$.
بالنسبة لـ f(x) = 2x + 6، المعكوس هو f⁻¹(x) = (x − 6)/2. ما هي f⁻¹(10)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f⁻¹(10) = (10 − 6)/2 = 4/2 = 2.
الرسم البياني لـ y = f⁻¹(x) هو انعكاس لـ y = f(x) في الخط:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعكوس يعكس الرسم الأصلي في الخط y = x؛ النقطة (a, b) تصبح (b, a).
خصائص المقلوبات
- $f(f^{-1}(x)) = x$ و$f^{-1}(f(x)) = x$ — يلغي كل منهما الآخر.
- مجال $f^{-1}$ هو مدى $f$، والعكس صحيح.
- بيانيًا: تبديل المحاور.
- اعرف تركيب الدوال $fg(x)$ ورسم التحويلات البيانية — انتقال، تمدد، وانعكاسات.
الإضافة للمخرجات أو المدخلات تنزلق المنحنى؛ المضروب يمدده
أيًا كانت دالة f ذات معكوس، فإن f(f⁻¹(x)) = x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تطبيق دالة ثم معكوسها يعيد المدخل الأصلي — يلغي كل منهما الآخر.
لقد فهمت الأمر
- دالة: كل مدخل → مخرج واحد بالضبط؛ مجال = مدخلات، مدى = مخارج
- دوال واحد لواحد لها مقلوبات؛ أوجد $f^{-1}$ بالتبديل والحل
- تركيب $fg(x) = f(g(x))$ — قم بـ $g$ أولاً، ثم $f$
- بياني لـ $f^{-1}$ هو انعكاس لـ $f$ في $y = x$