المربعات الثنائية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | قطع مكافئ |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | تربيعي |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | إكمال المربع |
| vertex/ˈvɜːteks/ | رأس |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | المميز |
مسار كرة مرمية
- ارمل كرة وتتبع قطعاً مكافئاً — نفس المنحنى الذي تصفه كل المعادلات التربيعية.
- أثبت غاليleo ذلك عام 1638. اليوم، تظهر التربيعيات في الفيزياء والاقتصاد والهندسة والتحسين.
- إتقانها يعني أنك تستطيع إيجاد القمة، والجذور، وشكل أي قطع مكافئ.
إكمال المربع
- المعادلة التربيعية هي $ax^2 + bx + c$ (مع $a \neq 0$).
- إكمال المربع يعيد كتابتها كـ $a(x+p)^2 + q$.
- هذا يكشف عن الرأس (نقطة الانعطاف) عند $(-p,\ q)$.
- مثال: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → رأس $(3, -4)$.
كشف إكمال المربع الرأس مباشرة: $y = (x-3)^2 - 4$ له حد أدنى عند $(3, -4)$.
مثال محلول. أكمل المربع لـ $2x^2 + 8x + 3$: أخرج $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. الرأس: $(-2, -5)$.
بتكملة المربع، x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. ما هي القيمة الصغرى q؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4، لذا q = −4 (القيمة الصغرى).
أكمل المربع: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. ما هي p؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5، لذا p = 2.
المميز
- المميز هو $\Delta = b^2 - 4ac$. وهو يحسب الجذور الحقيقية:
- $b^2 - 4ac > 0$ → جذرين حقيقيين مختلفين،
- $b^2 - 4ac = 0$ → جذر مكرر واحد،
- $b^2 - 4ac < 0$ → لا جذور حقيقية.
- قانون التربيعات: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
إشارة المميز تحدد عدد مرات تقاطع القطع المكافئ مع محور x: جذرين، أو واحد، أو لا شيء
المميز يقع تحت الجذر التربيعي. إذا كان $b^2 - 4ac < 0$، فستحتاج إلى $\sqrt{\text{negative}}$، وهو ليس له قيمة حقيقية — لذا فإن القطع المكافئ لن يقطع المحور $x$ أبدًا.
جسر معلّق: الكابل الرئيسي يتدلى على شكل قطع مكافئ
استكشف القطع المكافئ
y = ax² + bx + c
غيّر a، b و c لإعادة تشكيل المنحنى — وشاهد حركة القمة، الجذور و التقاطعات.
بالنسبة لمعادلة x² + 4x + 1 = 0، ما هو المميز b² − 4ac؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0، لذا جذران حقيقيان مختلفان).
إذا كان b² − 4ac < 0، فإن المعادلة التربيعية تحتوي على:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المميز السالب يعني أن القطع المكافئ لا يقطع محور x أبدًا — لا جذور حقيقية.
المعادلة x² + 2x + 5 = 0 لها جذران حقيقيان مختلفان.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المميز = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0، لذا لا جذور حقيقية.
حل المعادلات التربيعية
- التحليل: أسرع ما يعمل. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ أو $x = 3$.
- إكمال المربع: يعمل دائمًا، ويكشف عن الرأس.
- قانون التربيعات: يعمل دائمًا، استخدمه عندما يكون التحليل صعبًا.
حل x² − 5x + 6 = 0. ما هو الجذر الأصغر؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0، لذا x = 2 أو x = 3؛ الأصغر هو 2.
المعادلات المرتبطة والنمذجة
- تربيعيات نمذج: مسارات المقذوفات، منحنيات الربح، أقواس الجسور، صحون الأقمار الصناعية.
- الرأس يعطي القيمة العظمى (إذا كان $a < 0$) أو القيمة الصغرى (إذا كان $a > 0$).
- مثال: دالة الربح $P = -2x^2 + 40x - 150$. القيمة القصوى عند $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- يجب عليك حل المعادلات التربيعية والمتباينات التربيعية، وزوج من المعادلات المتزامنة (واحدة خطية، وأخرى تربيعية).
لقد فهمت الأمر
- إكمال المربع: $a(x+p)^2 + q$، الرأس عند $(-p, q)$
- المميز $b^2 - 4ac$ يحسب الجذور الحقيقية (+ اثنان، 0 واحد، − لا شيء)
- حل باستخدام التحليل، إكمال المربع، أو قانون التربيعات
- الرأس يعطي القيمة العظمى أو الصغرى للمعادلة التربيعية