دوال توليد الاحتمالات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع متقطع |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | دالة توليد الاحتمالات |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | مستقل |
توزيع في دالة واحدة
- التوزيع المتقطع هو قائمة احتمالات — صعب التعامل معه.
- دالة توليد الاحتمالات (PGF) تدمج القائمة كاملة في دالة منظمة، وتحويل المجاميع الاحتمالية الصعبة إلى حساب تفاضلي سهل.
مختبر دالة توليد الاحتمالات
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
غيّر x ولاحظ كيف تخزن PGF الاحتمالات في قوى x.
تعريف PGF
- للمتغير المتقطع $X$ الذي يأخذ قيم $0, 1, 2, \dots$:
- معامل $t^x$ هو بالضبط $P(X = x)$ — الدالة تشفّر التوزيع.
دالة توليد الاحتمالات تخزن جميع الاحتمالات كمعاملات
تُعرف دالة توليد الاحتمالات لـ X على أنها:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
المتوسط والتباين من المشتقات
- اشتق وقيم عند $t = 1$:
مثال محلول. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. ثم $G'(t) = 0.3 + 0.4t$، إذن $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X لديه G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². بما أن E(X) = G′(1) و G′(t) = 0.3 + 0.4t، فما قيمة E(X)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
يتم إيجاد المتوسط من PGF عبر E(X) = G′(______).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = G'(1).
مجاميع المتغيرات المستقلة
- الخاصية الأكثر فائدة: PGF لـ مجموع متغيرات مستقلة هو حاصل ضرب PGFs الخاصة بها:
- هذا يجعل جمع المتغيرات المستقلة (مثل مجموع عدة نرد) شبه يسير.
أيًا كانت PGF صالحة، ما هي قيمة G(1)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G(1) = Σ P(X=x) = 1، لأن الاحتمالات تتجمع لتساوي 1.
PGF لمجموع متغيرين مستقلين هو حاصل ضرب PGFs الخاصة بهما.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) للمتغيرات المستقلة X و Y.
تحقق من أنه PGF صالح
$G(1)$ يجب أن يساوي 1. بما أن $G(1) = \sum P(X = x)$، فإن PGF الصحيح يعطي دائماً $G(1) = 1$ — فحص سريع للصحة قبل الاشتقاق.
لقد فهمت الأمر
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (و $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- PGF لـ مجموع متغيرات مستقلة هو حاصل ضرب PGFs الخاصة بها