الأعداد المركبة (رياضيات بحتة متقدمة 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | نظرية ديموافر |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | الصيغة القطبية |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | الزاوية |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | مقدار مطلق |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | الجزء التخيلي |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | جذور الوحدة |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | الدائرة الوحدة |
الرفع لأس، الطريقة السهلة
- لحساب $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ بالطريقة الطويلة، ستضرب عشرة مرات.
- نظرية دي موافير تقوم بذلك في سطر واحد — وبشكل إضافي، تقسم الدائرة إلى أجزاء متساوية.
نظرية دي موافير
- عدد مركب بـالصيغة القطبية: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- نظرية دي موافير — لأي عدد صحيح $n$:
- الرفع للأس يضرب الوسيط في $n$ (ويضرب القيمة المطلقة في $r^n$).
الأعداد المركبة
z = x + yi
رسم z كنقطة: مسافته من O هي القيمة المطلقة، وزاويته هي الحجة.
ينص定理 دي موافر على أن (cos θ + i sin θ)ⁿ يساوي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الرفع للأس n يضاعف الحجة بمقدار n: cos nθ + i sin nθ.
فك زوايا متعددة
- مقارنة الأجزاء الحقيقية والوهمية لـ $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ تعطي متطابقات.
- مثال محلول: الجزء الحقيقي للمكعب يعطي $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
باستخدام ديف موافر، يتم فك cos 3θ إلى:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
خذ الجزء الحقيقي من (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
جذروا الوحدة
- المعادلة $z^n = 1$ لها بالضبط $n$ حلول — وهي جذروا الوحدة من الرتبة $n$.
- تقع على الدائرة الوحدة، متباعدة بالتساوي $\dfrac{360^\circ}{n}$ عن بعضها البعض، بدءًا من $1$.
الحلول الخمسة لـ $z^5 = 1$ تقع على دائرة الوحدة، تبعد $72^\circ$ عن بعضها — تشكل مضلعًا خماسيًا مثاليًا.
لماذا متباعدة بالتساوي؟ لكل جذر قيمة مطلقة $1$ ووسطاء $\dfrac{360^\circ k}{n}$ لـ $k = 0, 1, \dots, n-1$ — لذا يختلف الجذران المتتاليان بنفس الزاوية.
كم عدد جذور الوحدة المختلفة التي يحدها المعادلة z⁵ = 1؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
للمعادلة zⁿ = 1 بالضبط n من الجذور، موزعة بالتساوي على دائرة الوحدة؛ هنا n = 5.
جذور الوحدة الخامسة موزعة بالتساوي على دائرة الوحدة. ما هو الفرق بالدرجات بين الجذور المتتالية؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
360°/5 = 72° بين الجذور المتتالية.
جذور الوحدة الـ n موزعة بالتساوي حول دائرة الوحدة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقع على فواصل زاوية متساوية مقدارها 360°/n حول الدائرة.
خطأ شائع
تحتاج نظرية دي موافير إلى الصيغة القطبية أولاً. $(1 + i)^8$ لا يساوي $1^8 + i^8$ — حول $1+i$ إلى $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ باستخدام $r = \sqrt2$، $\theta = 45^\circ$، ثم طبق النظرية.
- جمع متسلسلة من $\cos$/$\sin$ حدود يستخدم المجموع المركب $C + \mathrm{i}S$ للأعداد المركبة.
قبل تطبيق ديف موافر على (1 + i)⁸، يجب عليك أولاً كتابة 1 + i بصيغة ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حول إلى r(cosθ + i sinθ) أولاً، ثم ارفعه للأس.
لقد فهمت الأمر
- دي موافير: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- يفك زوايا متعددة، مثلاً $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- جذروا الوحدة $n$ متباعدة بالتساوي $\dfrac{360^\circ}{n}$ عن بعضها على دائرة الوحدة