المعادلات التفاضلية (رياضيات بحتة متقدمة 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة التفاضلية |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | عامل التكامل |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | الحل العام |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المكملة |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المساعدة |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | شرط الحدود |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | الشرط الأولي |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | التكامل الخاص |
عندما يكون المجهول دالة
- المعادلات العادية تحل عدداً. أما المعادلة التفاضلية فتحل دالة كاملة — بناءً على قاعدة تتعلق بمعدل تغيرها.
- تحلل تبريد القهوة، ونمو السكان، وشحن المكثفات، وتذبذب البندولات.
خطية من الدرجة الأولى: العامل المكامل
- بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$، اضرب جميع الأطراف في العامل المكامل:
- هذا يجعل الطرف الأيسر ينهار إلى $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$، لتتمكن من تكامل الطرفين مباشرة.
مثال محلول. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. هنا $P = 2$، لذا $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. يصبح الطرف الأيسر $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
المعادلات التفاضلية
dy/dx = a y
تحديد المعادلة الميل في كل نقطة؛ يتبع الحل تلك الميل.
بالنسبة لـ dy/dx + 2y = eˣ، فإن عامل التكامل μ = e^(∫2 dx) هو:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫2 dx = 2x، لذا μ = e^(2x).
الضرب في عامل التكامل يجعل الطرف الأيسر d/dx(μy)، لذا يمكنك التكامل مباشرة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا هو جوهر عامل التكامل — فهو يحول الطرف الأيسر إلى مشتقة تامة.
من الدرجة الثانية، معاملات ثابتة
- بالنسبة لـ $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$، الحل العام له جزآن:
- الدالة التكميلية (CF) تأتي من المعادلة المساعدة $am^2 + bm + c = 0$.
بالنسبة لمعادلة خطية ذات معاملات ثابتة، يكون الحل العام هو:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحل العام = الدالة التكميلية (طرف يسار المعادلة = 0) + تكامل جزئي معين.
قراءة جذور المعادلة المساعدة
- جذور المعادلة المساعدة تحدد شكل الدالة التكميلية:
| الجذور | الدالة التكميلية |
|---|---|
| حقيقية ومميزة $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| مكررة $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| مركبة $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
المعادلة التفاضلية لها عائلة كاملة من منحنيات الحل؛ تختار الشروط Boundary واحدة منها.
بالنسبة لـ y″ − 5y′ + 6y = 0، المعادلة المساعدة هي m² − 5m + 6 = 0. ما هو الجذر الأكبر؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0، إذن m = 2 أو 3؛ الأكبر هو 3.
طابق كل نوع من الجذور المساعدة مع الدالة التكميلية التي تعطيها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الجذور الحقيقية المختلفة تعطي دالتين أسيتين؛ والجذر المكرر يضيف عاملاً x؛ والجذور المعقدة تعطي شكلاً متذبذباً ومقيّساً أسيًا.
الشروط Boundary
- ثوابت $A, B$ تُحدد بواسطة شروط boundary أو ابتدائية (مثل $y(0) = 1$، $y'(0) = 0$).
- بدونها تحصل على العائلة الكاملة؛ معها، المنحنى الوحيد الذي يناسب.
- حل المعادلات التفاضلية باستخدام تعويض أو بـ متغيرات قابلة للفصل، ثم طبق الشروط الابتدائية للحصول على الحل الخاص.
ثوابت التكامل التعسفية A و B تُحدد بواسطة شروط ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحديد الحدود أو الشروط الابتدائية (مثل y(0) = 1) تحدد قيم A و B.
لقد فهمت الأمر
- خطية من الدرجة الأولى: اضرب في $\mu = e^{\int P\,dx}$، ثم تكامل
- من الرتبة الثانية: الحل العام = الدالة التكميلية + التكامل الخاص
- تُستنتج الدالة التكميلية من المعادلة المساعدة؛ وتُحدد شروط الحدود الثوابت.