التكامل (حساب تفاضلي وتكاملي إضافي 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | الدالة الأصلية |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | الصيغة القياسية |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التعويض |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | زائدية |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | مثلثية |
| surd/sɜːd/ | جذر غير نسبي |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | صيغة التناقص |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | طول القوس |
التكاملات التي تقاوم
- بعض التكاملات ليس لها مشتقة عكسية واضحة — حتى تكتشف الشكل القياسي أو التعويض المناسب.
- يوفر لك كتاب Further Pure 2 مجموعة أدوات: تكاملات الزوايا المثلثية العكسية، وتعويضات مثلثية/زائدية، وقوانين التناقص.
التكاملات القياسية
- نتيجتان تستحقان الحفظ:
- طابق التكامل مع الشكل، واستخرج $a$، واكتب الإجابة.
تكامل محدد يقيس المساحة تحت منحنى
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
كل تكامل يقيس المساحة تحت المنحنى — اسحب حدود التكامل.
ما قيمة 1/(a² + x²) dx؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
هذا هو التكامل القياسي لعكس الظل.
ما قيمة ∫ 1/√(4 − x²) dx؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
مع a = 2، فإن ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
صل كل تكامل بنتيجته.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الأولان هما الأشكال القياسية للدوال المثلثية العكسية؛ ∫1/x dx = ln|x| + C.
الاستبدال
- تحويل تعويض مثلثي ($x = a\sin\theta$ أو $x = a\tan\theta$) جذرًا تربيعيًا أو مقامًا تربيعيًا إلى شكل بسيط.
- يتعامل التعويض الزائدي ($x = a\sinh u$) مع $\sqrt{a^2 + x^2}$.
مثال محلول. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. هنا $a^2 = 9$، لذا $a = 3$: الإجابة هي $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
في ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C، ما هي قيمة a؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a² = 9 إذن a = 3؛ التكامل هو (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
قوانين التناقص
- يرتبط قانون التناقص بتكامل $I_n$ بتكامل أدنى منه $I_{n-1}$ (أو $I_{n-2}$).
- طبقه بشكل متكرر للنزول أسفلًا إلى حالة أساسية يمكنك تكاملها مباشرة.
لا تفقد حدود التكامل. بالنسبة للتكامل المحدد، يتم تقييم الحد الحدودي في قانون التناقص عند الحدود كل مرة — وهو مكان شائع لفقدان إشارة أو عامل.
قانون التناقص يربط تكاملاً Iₙ بـ Iₙ₋₁ حتى تتمكن من العمل خطوة بخطوة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تعبر قوانين التناقص عن تكامل ذات مؤشر أعلى بدلالة تكامل ذي مؤشر أقل.
التطبيقات
- التكامل يقيس المنحنيات نفسها أيضًا:
- طول القوس: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- مساحة السطح الدوار: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- قم بالتكامل باستخدام تعويضات مثلثية، ودوال زائدية، وإكمال المربع في المقام.
طول القوس هو تكامل √(1 + (______)²) dx.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
طول القوس s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
لقد فهمت الأمر
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- استخدم تعويضًا مثلثيًا / زائديًا للجذور التربيعية والمقامات التربيعية
- يقوم قانون التناقص بخفض $I_n$ إلى $I_{n-1}$؛ كما يعطي التكامل طول القوس ومساحة السطح