التفاضل (رياضيات نقية متقدمة 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثير حدود |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | متسلسلة ماكلورين |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | التفاضل |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | زائدية |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | معامل |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | فترة التقارب |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | تباعد |
كيف تجد الآلة الحاسبة eˣ؟
- الآلة الحاسبة لا تستطيع "حساب" $e^{0.7}$ مباشرة — لا يوجد زر يُضغط يعرف ذلك.
- بدلاً من ذلك، تقوم بـ جمع عدد قليل من حدود كثير حدود يحاكي $e^x$ بالقرب من الصفر.
- هذا كثير الحدود هو متسلسلة ماكلورين — وبناء واحد يبدأ بالتفاضل المتكرر.
مشتقات جديدة يجب معرفتها
- Further Pure 2 يضيف مشتقات الدوال الزائدية و العكسية:
| دالة | مشتقة |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- يمكنك أيضاً إيجاد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ للمنحنيات المخفية و البارامترية.
كل حد ماكلورين إضافي يعانق e^x على نطاق أوسع
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx
المشتقة هي ميل المماس، بغض النظر عن تعقيد الدالة.
مشتقة sinh x هي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (و d/dx(cosh x) = sinh x).
مشتقة tan⁻¹x هي 1/(1+x²). ما هي قيمتها عند x = 0؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1+0²) = 1.
صل كل دالة بمشتقتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مبدل الزوج الزائدي (بدون إشارة سالب، على عكس sin/cos)؛ مشتقات الدوال المثلثية العكسية تأخذ الصيغ القياسية الكسرية/الجذرية.
متسلسلة ماكلورين
- متسلسلة ماكلورين تعيد بناء دالة كمجموع كثير حدود لا نهائي باستخدام مشتقاتها عند $0$:
- كل معامل يحتاج المشتقة التالية، مُقيّمة عند $x = 0$.
في متسلسلة ماكلورين، الحد الثابت هو f(0). بالنسبة لـ f(x) = eˣ، ما قيمة f(0)؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰ = 1، لذا الحد الثابت هو 1.
في متسلسلة ماكلورين، معامل xⁿ يحتوي على مضروب n (يُكتب n!) في الـ ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
حد xⁿ هو f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — مضروب n موجود في المقام.
مثال محلول — متسلسلة eˣ
- من أجل $f(x) = e^x$، كل مشتقة هي $e^x$، و $e^0 = 1$. لذا كل معامل هو $\dfrac{1}{n!}$:
كل حد إضافي يثني كثير الحدود أكثر靠近 $e^x$靠近 $x = 0$ — تماماً كما تعمل الآلة الحاسبة.
متسلسلات قياسية أخرى. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ و $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (صالحة من أجل $|x| < 1$).
تبدأ متسلسلة ماكلورين لـ eˣ بـ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
أين تكون المتسلسلة صالحة
- متسلسلة ماكلورين تطابق الدالة فقط ضمن فترة التقارب الخاصة بها.
- $e^x$، $\sin x$، $\cos x$ تتقارب من أجل جميع $x$؛ لكن $\ln(1+x)$ فقط من أجل $-1 < x \leq 1$.
تحقق من التقارب قبل أن تثق به. بعيداً جداً عن الفترة الصالحة، ينحرف كثير الحدود بشدة عن الدالة — زيادة عدد الحدود تجعل الأمر أسوأ، وليس أفضل.
- اشتق الدوال الزائدية والدوال العكسية، والعلاقات المعطاة مخفياً أو بارامترياً.
متسلسلة ماكلورين لـ ln(1+x) صالحة لكل قيم x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تتقارب فقط من أجل −1 < x ≤ 1؛ خارج هذا المجال تتباعد.
لقد فهمت الأمر
- مشتقات جديدة: $\sinh x \to \cosh x$، $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$، $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- ماكلورين: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — المزيد من الحدود يتناسب بشكل أفضل، ضمن فترة التقارب