المصفوفات (Further Pure 2)
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | تمدد |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | متجه ذاتي |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | قيمة ذاتية |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | تقطيع |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | معادلة مصفوفة |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المميزة |
| scalar/ˈskeɪlə/ | عدد قياسي |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | مصفوفة قطرية |
الاتجاهات الخفية في المصفوفة
- كل مصفوفة تحوّل الفضاء. بعض الاتجاهات خاصة: المصفوفة تقوم بـ تمددها فقط، دون دوران. هذه هي متجهات القيم الذاتية، وعوامل التمدد هي القيم الذاتية.
- القيم الذاتية تكشف بنية المصفوفة — فهي مفتاح عملية قطرية التحليل، وتحليل الاستقرار، وخوارزمية PageRank الخاصة بجوجل.
معادلات المصفوفات
- ثلاثة معادلات خطية بثلاثة مجاهيل → معادلة مصفوفة $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. مصفوفة غير مفردة $A$ تعطي حلاً فريداً واحداً: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
مثال محلول. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. الحل: $2x + y = 5$ و $x + 3y = 7$. النتيجة: $x = \dfrac{8}{5}$، $y = \dfrac{9}{5}$.
متجه ذاتي يحافظ على اتجاهه تحت تأثير المصفوفة؛ بينما يتغير اتجاه المتجه العام
المصفوفات (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
الدوران والانعكاسات والقص جميعها مصفوفات — استخرجها من متجهات الأساس المتحولة.
القيم الذاتية ومتجهات القيم الذاتية
- المعادلة المميزة $\det(A - \lambda I) = 0$ تعطي القيم الذاتية $\lambda$.
- لكل $\lambda$، المتجه الذاتي $\mathbf{v}$ يحقق $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- ضرب متجه ذاتي بـ $A$ يقوم بـ تمدده فقط (بعامل $\lambda$)، دون تغيير اتجاهه.
متجهات القيم الذاتية ليست فريدة. إذا كان $\mathbf{v}$ متجهاً ذاتياً، فإن $k\mathbf{v}$ أيضاً متجه ذاتي لأي عدد قياسي غير صفري $k$. عادة ما نختار أبسط صورة (أصغر أعداد صحيحة).
للمصفوفة [[2,1],[1,2]] المعادلة المميزة هي (2−λ)² − 1 = 0، مما يعطي λ = 1 أو λ = 3. ما هو القيمة الذاتية الأكبر؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 أو 3؛ الأكبر هو 3.
تُوجد القيم الذاتية لمصفوفة A بحل:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعادلة المميزة det(A − λI) = 0 تعطي القيم الذاتية.
عند ضرب متجه ذاتي في A، يتم فقط تمديده (Av = λv).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يحافظ المتجه الذاتي على اتجاهه؛ حيث يقوم A بمضاعفته فقط بالقيمة الذاتية λ.
إذا كان v متجهًا ذاتيًا لـA، فإن 2v هو أيضًا متجه ذاتي لـA.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المتجهات الذاتية ليست فريدة — أي مضروب قياسي غير صفري للمتجه الذاتي يُعدّ أيضًا متجهًا ذاتيًا.
قطرية التحليل
- يمكنك كتابة $A = QDQ^{-1}$، حيث $D$ هي مصفوفة قطرية للقيم الذاتية وأعمدة $Q$ هي متجهات القيم الذاتية.
- هذا يجعل حساب $A^n$ سهلاً: $A^n = QD^nQ^{-1}$، و $D^n$ هو مجرد رفع المدخلات القطرية إلى power $n$.
في عملية قطرية A = QDQ⁻¹، تحتوي المصفوفة D على:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D هي مصفوفة قطرية تحتوي على القيم الذاتية لـA على قطرها الرئيسي.
إذا كانت A = QDQ⁻¹، فإن A³ = QD³Q⁻¹. إذا كانت المدخلات القطرية لـD هي 1 و3، فإن الدخوL القطرية لـD³ هي 1 و؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تحتوي D³ على مدخلات قطرية 1³ = 1 و3³ = 27.
مثال محلول
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. المعادلة المميزة: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ أو $3$.
- من أجل $\lambda = 1$: متجه ذاتي $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. من أجل $\lambda = 3$: متجه ذاتي $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- مصفوفة المحدود صفر لديها انفصال (هي مفردة ولا تحتوي على معكوس).
لقد فهمت الأمر
- القيم الذاتية تحل $\det(A - \lambda I) = 0$؛ متجهات القيم الذاتية تحقق $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- ضرب متجه ذاتي بـ $A$ يقوم بـ تمدده فقط
- قطرية التحليل: $A = QDQ^{-1}$ (D = القيم الذاتية، أعمدة Q = متجهات القيم الذاتية)