الدوال الزائدية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | سلسلة معلقة |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | دالة زائدية |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | أسي |
| identity/aɪˈdentɪti/ | متطابقة |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | مقلوب |
المنحنيات التي تتدلى من سلاسل
- السلسلة المعلقة تشكل منحنى كاثيني — ليس قطعاً مكافئاً، بل هو رسم بياني لـ $\cosh x$.
- الدوال الزائدية تُبنى من الدوال الأسية وتظهر في كل مكان: الجسور المعلقة، خطوط الكهرباء، وحتى شكل الكون في النسبية العامة.
التعريفات
- تُبنى من الدالة الأسية:
مثال محلول. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. إذن المنحنى القطعي يمر عبر $(0, 1)$، وليس نقطة الأصل.
cosh و sinh هما المتوسط والفرق النصف لـ e^x و e^-x
الدوال الزائدية
y = a cosh(x)
cosh هو الكاتينار (سلسلة معلقة) — دالة زوجية، يكون فيها الحد الأدنى عند (0, a).
باستخدام cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2، ما هي قيمة cosh 0؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
باستخدام sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2، ما قيمة sinh 0؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0.
المتطابقات الرئيسية
- المتطابقة الرئيسية: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (مقارنة مع $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- الجمع: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
إشارة الطرح، لا الجمع. المتطابقة هي $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (ناقص)، وليست $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. هذا هو الفرق الرئيسي عن متطابقات الدوال المثلثية.
كابل معلق يشكل منحنى قطعياً، وهو منحنى جيب التمام الزائدي y = a cosh(x/a)
أيًا كان x، فما الذي يساوي cosh²x − sinh²x؟
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الهوية الزائدية هي cosh²x − sinh²x = 1.
هوية cosh²x + sinh²x = 1 صحيحة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الهوية الصحيحة هي cosh²x − sinh²x = 1 (بإشارة طرح وليس جمع).
المشتقات
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$، $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (بدون إشارة طرح!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
مشتقة sinh x هي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (بدون إشارة سالبة، على عكس المشتقة المثلثية d/dx(sin x) = cos x).
مشتقة cosh x هي:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(cosh x) = sinh x (بدون إشارة سالبة، على عكس d/dx(cos x) = −sin x).
الدوال الزائدية العكسية
- الأشكال العكسية تكون لوغاريتمية:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ من أجل $x \geq 1$.
لقد فهمت الأمر
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- متطابقة رئيسية: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- الدوال الزائدية العكسية لها أشكال لوغاريتمية