C.4 · الموجات الموقوفة والرنين

دليل شامل C.4 نطاق (الموجات الموقوفة والرنين)، التقييم الأول 2025. اقرأ مباشرة من دليل الفيزياء، الصفحات 48–49. المتطلبات السابقة: C.1 (مفردات الاهتزاز) وC.3 (التراكب).

هذه أمثلة تعليمية أصلية، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات متعلمين مكتملة تم تقييمها.

موجتان متطابقتان تسيران في اتجاهين متضادين — عادةً موجة وانعكاسها — تتراكبان لتكوين موجة موقوفة: يبقى النمط ثابتاً بينما تهتز الوسط بداخله. حيث يلغي الاثنان بعضهما البعض دائماً يكون هناك عقدة (إزاحة صفر)؛ حيث يعززان بعضهما دائماً يكون هناك قمة (أقصى سعة). نقطتان بين عقدتين متجاورتين تهجان بنفس الطور؛ النقاط على جانبي عقدة واحدة تكون معاكسة للطور — بعكس الموجة المنتشرة، الطور لا يسير عبر الوسط.

النهايات تحدد أطوال الموجات المسموحة. نهاية الوتر المثبتة (أو النهاية المغلقة للأنبوب) يجب أن تكون عقدة إزاحة؛ نهاية الوتر الحرة (أو النهاية المفتوحة للأنبوب) يجب أن تكون قمة. توصف الأنابيب بمصطلحات الإزاحة فقط (لا حاجة لعقد الضغط، ولا تصحيحات للنهايات).

وضع أدنى تردد هو التردد التوافقي الأول (مصطلح "الأساسي" و"الفوق") غير مستخدم في هذا المقرر. تحديد طول الموجة وتردد $n$ التردد التوافقي من الطول وسرعة الموجة مهارة مطلوبة.

تحقق محلول (وتر). وتر طوله 0.60 م يحمل موجات بسرعة 240 م/ث. التردد التوافقي الأول: $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$، $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$؛ يتضاعف التردد التوافقي الثاني ليصبح 400 هرتز، والثالث 600 هرتز.

فحص محلول (أنبوب مغلق-مفتوح). أنبوب مغلق من طرف ومفتوح من الطرف الآخر، طوله 0.40 م، الهواء بسرعة 340 م/ث: $f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$؛ التوافق التالي هو الثالث، $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ — لا يمكن تكون التوافقيات الزوجية.

فحص محلول (أنبوب مفتوح-مفتوح). نفس الأنبوب مفتوح من الطرفين: $f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$، أوكتاف أعلى من التوافق الأول للأنبوب المغلق-المفتوح، وكل توافق مسموح به.

كل نظام مرن له تردد طبيعي — وهو معدل تذبذبه عند تركه وحيداً. إذا قمت بتأثيره بقوة دورية فإن الاستجابة تعتمد على التردد المحرك: عندما يقترب التردد المحرك من التردد الطبيعي تزداد السعة بشكل حاد — الرنين. تصل الطاقة بمعدل يوازي تماماً قدرة النظام على امتصاصها، لذا فإن السعة عند الرنين مقيدة فقط بمدى سرعة تبديد الطاقة.

التخميد — إزالة طاقة التذبذب — يعيد تشكيل الاستجابة: حيث يقلل السعة القصوى، ويحول ذروة الرنين قليلاً تحت التردد الطبيعي، ويعرضها.

• تخميد خفيف — ذروة عالية وحادة؛ سعة رنين كبيرة (أرجوحة تُدفع بلطف عند ترددها الطبيعي).
• تخميد حرج — يتلاشى التذبذب في أقصر وقت دون تجاوز نقطة الاتزان؛ لقد اختفت ذروة الرنين عملياً (نظام تعليق السيارة).
• تخميد ثقيل — عودة بطيئة وكسلان؛ لا يستجيب النظام تقريباً لأي تردد محرك (غلق باب ثقيل).

الرنين مرغوب ومُصمم هندسياً (الأجهزة الموسيقية، ضبط الراديو، التصوير بالرنين المغناطيسي) وغير مرغوب أو مدمر (جسر تاكوما ناروز، اهتزاز الآلات ذاتياً، جنود يكسرون خطوتهم على جسر) — يطلب الدليل كلا الجانبين.

1. اشرح كيف تتكون موجة واقفة، ولماذا تبقى العقد ثابتة بينما يتحرك الوسط بينها.
2. نقطتان على موجة واقفة تقعان على جانبي عقدة، كل منهما على مسافة 0.15 م منها. حدد فرق الطور بينهما.
3. وتر مثبت من الطرفين طوله 0.75 م ويمر فيه موجات بسرعة 150 م/ث. احسب ترددات التوافق الأول والثاني.
4. اشرح لماذا ينتج الأنبوب المغلق-المفتوح توافقيات فردية فقط.
5. أنبوب طوله 0.50 م مفتوح من الطرفين؛ سرعة الهواء 340 م/ث. احسب تردد التوافق الأول وطول موجة التوافق الثاني.
6. ارسم أو صف كيف يتغير منحنى الرنين لنظام مخمد خفيف مع زيادة التخميد.
7. اذكر تأثيراً مفيداً وتأثيراً مدمراً للرنين، مع السبب الفيزيائي لكل منهما.

الإجابات: 1 موجتان متطابقتان تسيران في اتجاهين متعاكسين تتراكبان؛ عند العقدة تلغي انحرافاتهما بعضاً دائماً، لذا فهي لا تتحرك أبداً، بينما بين العقد يتراكب التذبذب؛ 2 مضاد الطور — 180° (π راديان) منفصلان؛ 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$، $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$؛ 4 يجب أن تكون النهاية المغلقة عقدة والنهاية المفتوحة انتفاخاً، لذا لا يتسع سوى عدد فردي من أرباع الأطوال الموجية — لا يمكن للتوافقيات الزوجية تلبية الشرطين معاً؛ 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$؛ $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$؛ 6 تنخفض الذروة وتتوسع وتتحرك قليلاً تحت التردد الطبيعي؛ 7 مفيد — دائرة راديو مضبوطة على الرنين تختار محطة واحدة من بين العديد لأنها تستجيب فقط بالقرب من ترددها الطبيعي؛ مدمر — التأثير عند التردد الطبيعي يزود الطاقة بأسرع مما تتبدد، فتزداد السعة حتى يفشل الهيكل.