C.3 · ظواهر الموجات

الدليل الكامل C.3 نطاق (ظواهر الموجات) بما في ذلك وحدة AHL، التقييم الأول 2025. اقرأ مباشرة من دليل الفيزياء، الصفحات 47–48. المتطلبات المسبقة: C.2 (v = fλ، الموجات المستعرضة والطولية) وحساب المثلثات الأساسي.

هذه أمثلة تعليمية أصلية، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات متعلمين مكتملة تم تقييمها.

في بعدين وثلاثة أبعاد تُرسم الموجة بطريقتين: جبهات الموجات — خطوط تربط نقاطاً في نفس الطور (متوافقة الطور)، تبعد موجة طول واحدة عن الأخرى — والأشعة — أسهم عمودية على جبهات الموجات تشير إلى اتجاه الانتشار. الرسومات في هذا الموضوع محدودة بالموجات الساقطة والمُنعَكسة والمُنقَلِبة.

عند حدّ بين وسطين تقوم الموجة بإجراء واحد أو أكثر من ثلاث عمليات:

• الانعكاس — ترتد جبهة الموجة من الحدّ (زاوية السقوط = زاوية الانعكاس، يُقاسان من العمود المقام على السطح).
• النقل — يمر جزء من الموجة إلى الوسط الثاني.
• الانكسار — تتغير جبهة الموجة المنقولة الاتجاه بسبب تغير سرعتها: نحو العمود المقام على السطح عند الدخول لوسط أبطأ، وبُعداً عنه عند الدخول لوسط أسرع. التردد ثابت ويحدده المصدر؛ يتغير الطول الموجي مع السرعة.

قاعدة الانكسار بصيغة النسبة:

حيث $n$ هو معامل الانكسار لكل وسط و$\theta$ الزاوية بين الشعاع والعمود المقام على السطح. تكافئ $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$؛ معامل الانكسار الأكبر يعني سرعة أقل في ذلك الوسط.

بالانتقال من وسط أبطأ إلى أسرع (من الزجاج إلى الهواء، $n_1 > n_2$)، توجد زاوية ما وراءها لا يمكن لأي شعاع الهروب منها: عند الزاوية الحرجة تسير الشعاع المنكسر موازياً للحدّ،

وما وراءها تنعكس جميع الأشعة انعكاساً كلياً داخل الوسط — الانعكاس الكلي الداخلي (TIR)، وهو مبدأ الألياف الضوئية.

تحقق محلول (انكسار نحو الزجاج). من الهواء إلى الزجاج، $n_{air} = 1.0$، $n_{glass} = 1.5$، السقوط $40°$: $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 = (1.0/1.5)(0.643) = 0.429$، إذن $\theta_2 = 25°$ — منحني نحو العمود المقام على السطح، كما هو متوقع عند الدخول لوسط أبطأ. تتبع السرعات نفس النسبة: $v_{glass} = c/1.5 = 2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$.

تحقق محلول (الزاوية الحرجة). نفس الزجاج مقابل الهواء: $\sin\theta_c = 1.0/1.5 = 0.667$، إذن $\theta_c = 42°$. أي شعاع داخل الزجاج يصطدم بالجدار بزاوية أكبر من $42°$ مع العمود المقام على السطح سينعكس انعكاساً كلياً داخلياً.

عندما تصطدم موجة بعائق أو فتحة، فإنها لا تسير في خط مستقيم تمامًا: بل تنحني وتنتشر — الحيود. يكون الانتشار أقوى عندما تكون الفتحة مساوية لطول الموجة أو أصغر منه، ولهذا السبب تنحني الأصوات حول الأبواب (بأطوال موجية بالمتر) بينما يبدو الضوء (بأطوال موجية بالنانومتر) أنه يسير في خط مستقيم. يوضح رسم أمامات الموجة-الأشعة دخول أمامات موجية مسطحة إلى شق ومغادرتها كأمامات منحنية منتشرة.

عندما تلتقي موجتان عند نقطة، تتجمع الإزاحات — التراكب. ولتكوين نمط ثابت، يجب أن تكون المصادر متسقة: بنفس التردد وفرق طور ثابت. يعتمد النتيجة بعد ذلك على فرق المسار من المصدرين:

حيث $n$ عدد صحيح. يتداخل التداخل البناء لتكوين حد أقصى (يصل قمتان معًا)؛ ويُلغي التداخل الهدام ليصل إلى حد أدنى (يصل قمة لقاع).

تحقق محلول. مصدران متسقان في الطور، طول موجة 0.50 م. النقطة 3.00 م عن أحد المصدرين و3.75 م عن الآخر لها فرق مسار 0.75 م $= 1.5\lambda = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$ — هدام: حد أدنى. تحريك النقطة حتى يصبح فرق المسار 1.00 م $= 2\lambda$ يستعيد حدًا أعلى.

الضوء عبر شق ضيق واحد ثم شقين ضيقين (متسقان بالتصميم) ينتج أشرطة مضيئة ومظلمة على الشاشة — تداخل، وهو الدليل على أن الضوء موجة. تباعد الأشرطة هو

حيث $d$ هو تباعد الشقوق و$D$ هو المسافة من الشق إلى الشاشة.

تحقق محلول (قياس طول موجة). الشقوق متباعدة 0.20 مم، الشاشة بعيدة 2.4 م، وتم عد 12 أشرطة مضيئة عبر 55 مم (11 فراغات، لذا $s = 55/11 = 5.0\ \mathrm{mm}$): $\lambda = sd/D = (5.0\times10^{-3})(0.20\times10^{-3})/2.4 = 4.2\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ — ضوء بنفسجي-أزرق.

حيود الشق الواحد: ضوء بطول موجة $\lambda$ عبر شق مستطيل واحد بعرض $b$ (أحادي اللون، سقوط عمودي) ينتشر في حد أعلى مركزي واسع مع أشرطة جانبية أضعف. يقع الحد الأدنى الأول عند

لذا فإن الشق narrower ينتشر الضوء بشكل أوسع — يزداد الحيود كلما اقتربت الفتحة من طول الموجة. تأثير عرض الشق على الكثافة نوعي: الذروة المركزية تهيمن، وعرضها هو ما تتبعه المعادلة.

المزدوج الشق الحقيقي هو شقان أحاديان، لذلك تطفو أشرطة المزدوج الشق الدقيقة تحت النمط الواسع للشق الواحد: نمط الشق الواحد يعدّل نمط تداخل المزدوج الشق — ارتفاعات الأشرطة تتبع غلاف حيود شق واحد.

العديد من الشقوق المتوازية — شبكة حيود بمسافة $d$ — تشحذ كل حد أعلى إلى خط ضيق مشرق عند

حيث $n = 0, 1, 2, \ldots$ هو الرتبة. نظرًا لأن لكل طول موجة زاويته الخاصة، ينقسم الضوء الأبيض عبر الشبكة إلى طيف لكل رتبة (الأقرب البنفسجي لاتجاه الاستقامة)، وعدد الرتب المرئية مقيد بـ $\sin\theta \le 1$.

تحقق محلول (شق واحد). $b = 0.10\ \mathrm{mm}$، $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$: $\sin\theta = 5.0\times10^{-7}/1.0\times10^{-4} = 5.0\times10^{-3}$، لذا $\theta = 0.29°$. توسيع الشق إلى $0.40\ \mathrm{mm}$ يقسم الزاوية بأربعة: $\theta = 0.072°$ — يتقلص النمط كلما زاد فتحة الانبثاق.

تحقق محلول (رتب الشبكة). شبكة بها 600 خطوط في المليمتر: $d = 1.0\times10^{-3}/600 = 1.7\times10^{-6}\ \mathrm{m}$. مع $\lambda = 600\ \mathrm{nm}$: رتبة 1 عند $\sin\theta = 0.36$ ($\theta = 21°$)، رتبة 2 عند $\sin\theta = 0.72$ ($\theta = 46°$)، ورتبة 3 ستحتاج إلى $\sin\theta = 1.08$ — مستحيل، لذا يظهر رتبان فقط. عند $400\ \mathrm{nm}$ (بنفسجي) رتبة 1 تقع عند $\sin\theta = 0.24$ ($14°$): شبكة واحدة، وميض واحد من الضوء الأبيض، وينتشر الطيف من الرتبة الأولى من $14°$ إلى $21°$.

1. اذكر ما يُقصد بأمامة موجية وكيف يرتبط الشعاع بها.
2. يعبر شعاع من الهواء إلى الماء ($n = 1.3$) بزاوية $50°$ مع العمود المقام. احسب زاوية الانكسار.
3. اذكر شرط الانعكاس الكلي، ولماذا يمكن لحوض السمك أن يُظهر صوراً معكوسة للأجسام عند زوايا السقوط.
4. قارن بين حيود الصوت وضوء المار عبر باب، مع ذكر السبب.
5. مصدران متماسان يبعدان عن بعضهما 0.040 م، ويصدران موجات طولها 0.060 م على نفس الطور. تقع نقطة على مسافة 0.30 م من أحد المصدرين على خط عمودي على الخط الواصل بينهما؛ حدد فئة الفرق في المسار (بناء أو هدام) إذا كانت تبعد 0.33 م عن المصدر الآخر.
6. في تجربة الشق المزدوج، تم تقليص بعد الشقين إلى النصف وتُزيّد بُعد الشاشة بمقدار الضعف. ماذا يحدث لفصل الأشرطة؟
7. أعطت تجربة الشق المزدوج بالضوء الأخضر أشرطة تفصل بينها مسافة 4.0 مم. قدّر الفصل الجديد إذا استُخدم ضوء أزرق نصف طوله الموجي بنفس الهندسة.

الإجابات: 1 خط من النقاط المتناطقة، تفصل بينها طول موجي واحد؛ الشعاع عمودي دائماً على الجبهات الموجية ويشير لاتجاه الانتشار؛ 2 $\sin\theta_2 = (1.0/1.3)\sin 50° = 0.588$، $\theta_2 = 36°$؛ 3 الانتقال من وسط أبطأ (ذو $n$ أعلى) إلى وسط أسرع بزوايا أكبر من الزاوية الحرجة — عندها لا يوجد انتقال؛ فوق الزاوية الحرجة تعمل السطح الداخلي للزجاج كمرآة؛ 4 الصوت (أطوال موجية بالمتر، مقاربة لفتحة الباب) حيود قوي حول الفتح، بينما الضوء (أطوال موجية بالمئات من النانومتر، أصغر بكثير) انتشاره مهملاً ويبدو أنه ينتقل مستقيماً؛ 5 فرق المسار 0.03 م $= \tfrac{1}{2}(0.060\ \mathrm{m})$ — هدام؛ 6 $s = \lambda D/d$ يتضاعف من $D$ ويتضاعف مرة أخرى من $d$ — أربعة أضعاف عرضاً؛ 7 $s \propto \lambda$، إذن 2.0 مم.