5 · التفاضل والتكامل

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

• الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
• تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1). النقطة الثابتة تحقق dy/dx=0. تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• لا يعني الصفر في المشتقة دائماً وجود عظمى أو صغرى: دالة y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضاً أن تنتج نقطة نهاية قيمة حدية على مجال محدد.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل نقطة لها مشتقة صفرية هي عظمى محلية أو صغرى محلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة والجداء والقسمة هناك. في المستويات المتقدمة، ربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

ما مدى موثوقية التقريب؟

• المعادلة غير الخطية ليس لها حل دقيق مريح. لا يزال التقريب بحاجة إلى دليل على أنه موثوق.
• تدرس هذه الدرس التكرار: تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق منه.

اختر البنية الرياضية

• دالة متصلة ذات إشارات متضاربة عند طرفين لها جذر بينهما. تستخدم طريقة نيوتن x التالي=x- f(x)/f'(x)، مع مشتق لا يساوي صفراً. تقرب قاعدة شبه المنحرف التكامل المحدد باستخدام ارتفاعات الأطراف.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ f(x)=x²-2 و x₀=1.5، يعطي نيوتن x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. مع y=x² على [0,2] وشريحتين متساويتين، h=1 ومساحة شبه المنحرف=(1/2)(0+2×1+4)=3؛ المساحة الدقيقة هي 8/3.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• تغير الإشارة عبر انقطاع لا يثبت وجود جذر. قد تتباعد عملية التكرار أو تدور في حلقة. يعتمد التقدير الزائد أو الناقص لقاعدة شبه المنحرف على الانحناء، وليس فقط على ما إذا كانت الدالة تزايدية.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل تغير إشارة يثبت وجود جذر، بما في ذلك الذي يحدث عبر انقطاع. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

• قدم معياراً للتوقف وأبلغ عن دقة معقولة. تأكد من الجذر المقرب بإطار إشارات حول الإجابة المدورة المذكورة؛ واشرح أي فشل في عملية التكرار المختارة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التطبيقات والتفسير SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

تحديث متكرر يتم فيه حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق له. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.