1 · الأرقام والجبر

دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · الموضوع 1

عرض الشرائح تدريب

1.1

النطاق والشروط المسبقة

يتناول هذا الملف موضوعات مختارة من المستوى المنخفض للمقرر الأول الذي تم تقييمه في 2021؛ وهو لا يمثل المنهج كاملاً.

المؤهلات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المحددة، واستخدام العمليات الحسابية وشروط النموذج أدناه.

الأمثلة أصيلة ومخترعة: فهي ليست قياسات حقيقية أو تحقيقات طلابية فعلية.

مفردات تدريب

English	العربية
prime factor/praɪm ˈfæktə/	عامل أولي
index/ˈɪndeks/	أس
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	النسبة المشتركة
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	المُعامل

1.2

الحساب الدقيق والتقدير

هل يمكننا التعبئة دون فائض؟

يقوم مورد بتعبئة 72 أقلام رصاص و90 أقلام حبر في حقائب هدايا متطابقة. كيف يمكننا تجنب الفوائض؟
تدرس هذه الدرس العوامل الأولية: العدد الأولي الذي يقسم العدد الصحيح تماماً.

الطريقة

تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
استخدم أصغر القوى الأولية المشتركة لـ HCF وأكبرها لـ LCM.
قدّر قبل الحساب؛ استخدم الأقواس للحفاظ على ترتيب العمليات.

حالة محلولة

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

مثال:

72=2^3×3^2 و 90=2×3^2×5. القاسم المشترك الأكبر هو 2×9=18. قم بصنع 18 أكياس تحتوي كل منها على 4 أقلام رصاص و5 أقلام حبر. المضاعف المشترك الأصغر هو 2^3×3^2×5=360.

أشجار العوامل: 72 يتفرع إلى 2، 2، 2، 3، 3 و90 يتفرع إلى 2، 3، 3، 5؛ تعطي الأعداد الأولية المشتركة القاسم المشترك الأكبر 18 — أشجار العوامل: 72 = 2³ × 3² و 90 = 2 × 3² × 5، إذن القاسم المشترك الأكبر = 2 × 3² = 18

أين يكمن الخطأ

يقسم HCF كلا الرقمين؛ وLCM هو مضاعف لكلا الرقمين.
يجيبان على أسئلة مختلفة.
التقدير العشري ليس كسرًا دقيقًا.

غير صحيح: القاسم المشترك الأكبر لعدد صحيح موجب هو دائماً أكبر من أي عدد منهما. القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين، لذا لا يمكن أن يكون أكبر من الأصغر: القاسم المشترك الأكبر لـ 72 و 90 هو 18.

تطبيقها

لورقة اختبار بدون آلة حاسبة، حافظ على الكسور دقيقة وأظهر الاختصار.
في ورقة الآلة الحاسبة، أدخل التعبير الكامل وقارنه بتقديرك.

في مادتك الدراسية

التحليل والأساليب SL، وهو المنهج الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021.

المفتاح:

العامل الأولي: عدد أولي يقسم العدد الصحيح تماماً.
تكشف العوامل الأولية عن البنية المشتركة.
انتبه إلى: القاسم المشترك الأكبر يقسم كلا العددين؛ والمضاعف المشترك الأصغر هو مضاعف لكلا العددين.

اكتب من القاسم المشترك الأكبر 15

أوجد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لـ 45 و75.
القاسم المشترك الأكبر أصغر من كلا العدد الصحيحين.

استكشف

الحساب الدقيق والتقدير

الكواشف الأولية تكشف البنية المشتركة

اجمع الأسس المشتركة 2 و9 لتبرير 18 كيس متطابق.

1.3

الأسس والجذور الصماء والصيغة القياسية

كم طول الطول المجهري؟

يسجل المجهر طولاً قدره 0.000072 متر. يجب أن تحافظ التمثيل المصغر على حجمه الصحيح.
تدرس هذه الدرس الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.

الطريقة

لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
الأس السالب يعني المقلوب؛ والأس الكسري يمثل الجذر.
الصيغة القياسية لها 1≤a<10.

حالة محلولة

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

مثال:

0.000072=7.2×10^(-5). أيضاً 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. بسّط √72=6√2، ثم استنتج $1/\sqrt{2}$=√2/2.

أرقام 0.000072 مع خمسة أسهم تظهر نقطة العشار تقفز لليمين لتعطي 7.2، بحيث يكون الرقم 7.2 × 10⁻⁵ — نقل الفاصلة 5 مرات إلى اليمين يعطي 7.2، لذا 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

أين يكمن الخطأ

قوانين الأسس لا تحول المجموع إلى قوة واحدة: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.
لا تقرب جذراً عندما يُطلب إجابة دقيقة.

غير صحيح: لكل a موجبة، فإن a^2+a^3 يساوي a^5. قواعد الأسس تجمع الأسس فقط عند ضرب الحدود: 2²×2³=12، لكن 2⁵≠32.

تطبيقها

تحقق من أسس العشرات مقابل الكمية الأصلية.
استخدم الجذور المربعة للحسابات الهندسية الدقيقة، وقم بالتقريب فقط للطول النهائي عندما تطلب السؤال قيمة عشرية.

في مادتك الدراسية

التحليل والأساليب SL، وهو المنهج الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

المفتاح:

الأس: القوة التي يُرفع إليها الأساس.
لنفس الأساس الموجب، يضيف الضرب الأسس ويخصر القسمة منها.
انتبه إلى: قواعد الأسس لا تحول المجموع إلى أس واحد: 2^3+2^4=24، وليس 2^7.

اكتب بدلالة 27 أس 2/3

احسب 27 أس 2/3.
بالنسبة لعدد موجب، مربع a مكعب a ليس مساويًا لأس خمسة من a.

استكشف

الأسس والجذور والصيغة القياسية

لنفس الأساس الموجب، عند الضرب تُجمع الأسس وعند القسمة تُطرح.

قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.

1.4

المتتاليات والمتسلسلات والتكرار

هل يضيف التغير أم يضرب؟

خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.

الطريقة

للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
للم progression الهندسي، u_n=ar^(n-1) و S_n=a(1-r^n)/(1-r).
مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.

حالة محلولة

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

مثال:

بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.

نقاط لتسلسل حسابي 5، 8، 11 وهكذا، تزداد بمقدار 3 لكل حد حتى الحد الثامن، 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): خطوات متساوية مقدارها 3 تضع الحدود على خط مستقيم

أين يكمن الخطأ

الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.
المتتالية قائمة مرقمة؛ والمتسلسلة هي مجموع.
يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.

غير صحيح: كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. يوجد مجموع إلى ما لا نهاية فقط عندما −1<r<1؛ أما بالنسبة لـ r=2 فإن الحدود تكبر بلا حدود.

تطبيقها

اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الإجمالي أو الضربي.
في المالية، اميز بين إيداد واحد وسلسلة من الإيدادات قبل اختيار صيغة المجموع.

في مادتك الدراسية

التحليل والأساليب SL، وهو المنهج الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

المفتاح:

النسبة المشتركة: المضاعف الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
للم progression الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
انتبه: الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1.

اكتب بدلالة الحد رقم 6 وهو 29

المتتالية الحسابية لها الحد الأول 4 والفرق المشترك 5.
أوجد الحد 6th. المتسلسلة الهندسية اللانهائية تحتاج إلى نسبة مشتركة مقدارها أقل من 1.

استكشف

متتاليات، متسلسلات وتكرارية

بالنسبة للتقدم الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2

قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.

1.5

النسب المئوية والنسبة والاستدلال التناسبي

هل يمكننا استعادة السعر الأصلي؟

انخفض سعر معطف بمقدار 20% ليصبح ¥240. الخصم يطبق على السعر الأصلي، وليس على سعر البيع.
يدرس هذا الدرس المعامل الضربي: العامل الذي يقوم بتغيير النسبة المئوية في عملية ضرب واحدة.

الطريقة

الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
لإرجاع النسبة المئوية، اقسم على المضاعف.
في النسبة، أوجد أولاً العدد الكلي للأجزاء.

حالة محلولة

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

مثال:

ليكن السعر الأصلي P. النموذج هو سعر البيع=0.8P. ومنه P=240/0.8=300. زيادة لاحقة بنسبة 20% تعطي 240×1.2=288، لذا التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

مخطط عمودي: السعر الأصلي 300 يوان، 240 بعد خصم 20٪، 288 بعد زيادة إضافية مقدارها 20٪ — 300 → 240 → 288 يوان: خصم 20٪ ثم زيادة 20٪ لا يعيدك إلى 300، لأن الزيادة الثانية 20٪ هي على 240

أين يكمن الخطأ

تستخدم النسبة المئوية أساساً مذكوراً.
طرح النسب المئوية يفقد ذلك الأساس.
للتغير المركب، اضرب المضاعفات؛ ولا تجمع النسب المئوية.

غير صحيح: انخفاض بنسبة 20% يليه زيادة بنسبة 20% يعيد السعر الابتدائي. لكن الزيادة بنسبة 20% تُحسب على مبلغ أصغر: 100×0.8×1.2=96، وليس 100.

تطبيقها

للتناسب المباشر استخدم y=kx؛ للتناسب العكسي استخدم y=k/x.
احسب k من زوج معلوم قبل استخدام قيمة جديدة.
أدرِ ما أبقيت ثابتاً.

في مادتك الدراسية

التحليل والأساليب SL، وهو المنهج الذي تم تقييمه لأول مرة في 2021.
ورقة 1 بدون آلة حاسبة: احتفظ بالكسور والجذور وπ كقيم دقيقة وأظهر كل خطوة. في ورقات الآلة الحاسبة، اكتب التعبير قبل قيمته.

المفتاح:

المُضَرِّب: عامل يُجرّي تغييراً مئوياً في عملية ضرب واحدة.
الزيادة بنسبة p% لها مضاعف 1+p/100؛ والنقصان له مضاعف 1-p/100.
انتبه: يستخدم النسبة المئوية أساساً مُصراَحاً عنه.

اكتب بدلالة سعر نهائي قدره 192

سعر 200 ينخفض بنسبة 20 بالمائة ثم يرتفع بنسبة 20 بالمائة.
أوجد السعر النهائي. التغيران لا يلغيان بعضهما البعض.

استكشف

النسب المئوية والنسب والاستدلال التناسبي

الزيادة بنسبة p% لها معامل 1+p/100؛ الانخفاض له معامل 1-p/100

اشرح لماذا يعطي انخفاض بنسبة 20% متبوعاً بزيادة بنسبة 20% قيمة 288 بدلاً من 300.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

المزيد من المواضيع في دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL