دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can we pack without leftovers?

• A supplier packs 72 pencils and 90 pens into identical gift bags. How can we avoid leftovers?
• This lesson studies prime factor 质因数: A prime number that divides the integer exactly.

Choose the mathematical structure

• Prime factors reveal shared structure. Use the smallest common prime powers for the HCF and the largest for the LCM. Estimate before calculating; use brackets to preserve the order of operations.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

72=2^3×3^2 and 90=2×3^2×5. Their HCF is 2×9=18. Make 18 bags with 4 pencils and 5 pens each. Their LCM is 2^3×3^2×5=360.

Test a tempting shortcut

• The HCF divides both numbers; the LCM is a multiple of both. They answer different questions. A decimal estimate is not an exact fraction.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The HCF of two positive integers is always larger than either integer. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a non-calculator paper, keep fractions exact and show cancellation. For a calculator paper, enter the full expression and compare with your estimate.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A prime number that divides the integer exactly. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How small is a microscopic length?

• A microscope records a length of 0.000072 metres. A compact representation must keep its size correct.
• This lesson studies index 指数: The power to which a base is raised.

Choose the mathematical structure

• For the same positive base, multiplication adds indices and division subtracts them. A negative index means reciprocal; a fractional index represents a root. Standard form has 1≤a<10.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

0.000072=7.2×10^(-5). Also 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplify √72=6√2, then rationalise $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Test a tempting shortcut

• Index laws do not turn a sum into a single power: 2^3+2^4=24, not 2^7. Do not round a surd when an exact answer is requested.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

For every positive a, a^2+a^3 equals a^5. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Check powers of ten against the original quantity. Use surds for exact geometry, and round only the final length when the question asks for a decimal.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The power to which a base is raised. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Does the change add or multiply?

• A saving plan adds ¥30 more each week; a population model grows by 5% each year. Equal differences and equal ratios need different models.
• This lesson studies common ratio 公比: The constant multiplier 乘数 between consecutive terms of a geometric sequence.

Choose the mathematical structure

• For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2. For a geometric progression, u_n=ar^(n-1) and S_n=a(1-r^n)/(1-r). An infinite geometric sum exists only if |r|<1.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 and S_8=8(10+21)/2=124. For a=12,r=1/2, S infinity=12/(1-1/2)=24. For u_(n+1)=2u_n+1 with u_1=1, the next terms are 3,7,15.

Test a tempting shortcut

• The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every geometric series has a finite sum to infinity. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Explain whether the context justifies additive or multiplicative change. In finance, distinguish a single deposit from a stream of deposits before choosing a sum formula.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can we recover the original price?

• A coat is reduced by 20% to ¥240. The discount applies to the original price, not to the sale price.
• This lesson studies multiplier: A factor that performs a percentage change in one multiplication.

Choose the mathematical structure

• A p% increase has multiplier 1+p/100; a decrease has multiplier 1-p/100. Reverse a percentage by dividing by the multiplier. In a ratio, first find the total number of parts.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Let the original price be P. The model is sale price=0.8P. Hence P=240/0.8=300. A later 20% increase gives 240×1.2=288, so the two changes do not cancel.

Test a tempting shortcut

• A percentage uses a stated base. Subtracting the percentages loses that base. For compound change, multiply the multipliers; do not add the percentages.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A 20% decrease followed by a 20% increase restores the starting price. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For direct proportion use y=kx; for inverse proportion use y=k/x. Calculate k from a known pair before using a new value. State what you held constant.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A factor that performs a percentage change in one multiplication. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

ما المدخلات المسموحة؟

• نموذج الجذر التربيعي يعطي ناتجاً حقيقياً فقط لبعض المدخلات. معادلته وحدها لا تحدد دالة كاملة.
• تدرس هذه الدرس المجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

اختر البنية الرياضية

• حدد المجال والمدى. بالنسبة للدالة العكسية، تأكد أولاً من أن الدالة أحادية في مجالها. تعني تركيب fg تطبيق g أولاً ثم f؛ يجب أن يكون المخرج الوسيط مدخلاً مسموحاً به لـ f.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ f(x)=√(x-2)، x≥2 والمدى هو y≥0. من y=√(x-2)، x=y²+2. وبالتالي f inverse(x)=x²+2 مع x≥0. بالنسبة لـ g(x)=x+3، fg(1)=f(4)=√2.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• التربيع قد يُنتج حلولاً زائفة. تقييد مجال القطع المكافئ أمر ضروري قبل الادعاء بوجود دالة عكسية. الإزاحة الأفقية داخل f تكون بعكس الإشارة عن حركة الرسم البياني.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل دالة تربيعية على جميع الأعداد الحقيقية لها دالة عكسية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

• تحقق من f(f inverse(x))=x على مجال الدالة العكسية. استخدم رسماً لتختبر ما إذا كان خط أفقي يقطع الرسم البياني الأصلي أكثر من مرة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مجموعة المدخلات المسموحة للدالة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من فرضياتها، وفسر النتيجة.

لماذا يبقى نموذج التناقص موجباً؟

• تركيز الدواء ينخفض بنفس النسبة المئوية كل ساعة. والطرح الثابت سيؤدي حتماً إلى توقع كمية سالبة.
• تدرس هذه الدرس عمر النصف: الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ y=Ae^(kt)، k هو معدل طردي. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على ln y=ln A+kt. تتطلب اللوغاريتمات موجبات كمدخلات، ولوغاريتم (x+y) لا يساوي لوغاريتم x + لوغاريتم y.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

إذا كانت y=80e^(-0.2t)، فإن y=40 تعطي e^(-0.2t)=1/2. ومنه t=ln2/0.2≈3.466. ولـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. ورسم ln y مقابل t يخطي هذا النموذج الأسّي.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• النموذج الأسي المُناسب هو مجرد نموذج، وليس ضماناً. حدد وحدات الزمن ونطاق الاستخدام. وk السالب يصف التناقص؛ والقيمة الابتدائية السالبة تتناقض عادة مع السياق.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

بالنسبة لـ x و y الموجبين، ln(x+y)=ln x+ln y. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• قارن الملاحظات الفعلية مع النموذج. الانحرافات المنهجية قد تشير إلى تغير الظروف. وفي التقرير، اشرح ماذا يعني المعدل والقيمة الابتدائية، بدلاً من تقديم معادلة عارية.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الوقت اللازم لتناقص الكمية إلى نصف قيمتها الأولية. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

هل يتغير الحجم بنفس مقيار الطول؟

• نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
• يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

اختر البنية الرياضية

• للأشكال المتشابهة بمعامل قياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³. اذكر أسباب الزوايا صراحةً. مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الزوايا المتساوية وحدها لا تحدد التشابه، بل لا تحدد الحجم المتساوي. استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب. حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو قم بتربيع/تكعيب عامل التحويل بشكل صحيح.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

مضاعفة كل طول في جسم صلب تضاعف حجمه. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• يجب أن يذكر الإثبات الهندسي اسم النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة. الرسم المقياسي يعتبر دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

أي ضلع يحتاجه السلم؟

• يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
• تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

اختر البنية الرياضية

• في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر وtanθ=المقابل/المجاور. للمثلثات الأخرى، استخدم قاعدة الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• عرّف الجوانب بالنسبة للزاوية المختارة. بايثاغورس يتطلب زاوية قائمة. قد يؤدي خطأ وضع الآلة الحاسبة للزوايا إلى نتيجة تبدو منطقية لكنها خاطئة. احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

ينطبق بايثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات الخالية من الزاوية القائمة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• استخدم مخططاً أو منظراً أمامياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث. اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.

كم مسافة يقطع الحافة؟

• تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
• تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ θ بالراديان، طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2. استخدم sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل. اذكر كل حل في الفترة المحددة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الآلة الحاسبة تعطي قيمة رئيسية واحدة لجيب التمام العكسي. ولا تعطي كل الحلول. والقسمة على sin x قد تحذف حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

إن القيمة الرئيسية لجيب التمام العكسي هي دائماً الحل الوحيد في دورة كاملة. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة. احتفظ بالزوايا المعتادة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الزاوية المحصورة على قوس طولها يساوي نصف قطره. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

• مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
• تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

اختر البنية الرياضية

• قارن متوسطاً ومناسباً للتباين في السياق. يستخدم المدرج التكراري المساحة للتردد، لذا الارتفاع = التردد / عرض الفئة. تقديرات البيانات المجمعة تفترض قيمًا ممثلة داخل الفئات.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الشريط الأعلى في المدرج التكراري لا يعني بالضرورة احتوائه على أكثر الملاحظات. المتوسط للبيانات المجمعة هو تقدير. الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء يتجاوز النطاق الملاحظ.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

ارتفاع شريط المدرج التكراري يساوي دائماً تكراره، حتى مع عدم تساوي أعرض الفئات. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

• اختر تمثيلاً يناسب نوع البيانات. قدّم مقارنة عددية وما تعنيه للسكان؛ ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري. اختر العلاقة، وبيّن الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسّر النتيجة.

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

• يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
• تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

اختر البنية الرياضية

• اضرب على طول فرع شجري وأجمع الفروع المنفصلة. مع الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً. الاحتمال الشرطي هو P(A given B)=P(A∩B)/P(B)، بشرط أن يكون P(B)>0.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• events منفصلة تعني عدم وجود تقاطع؛ independent يعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر. eventان منفصلان باحتمال موجب ليسا مستقلين.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

events منفصلة ذات احتمالات موجبة يجب أن تكون مستقلة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

• الجدول ثنائي الاتجاه يجعل المقام المقيود مرئياً. قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

ما الذي يجعل العد قابلاً للتنبؤ؟

• يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
• تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

اختر البنية الرياضية

• يتطلب النموذج الثنائي n ثابتاً، وتجارب مستقلة، ونتيجتين، و p ثابت. E(X)=np و Var(X)=np(1-p). بالنسبة لنموذج normal استخدم z=(x-μ)/σ. يصف نموذج بوزون العدادات بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• ليس كل عدّ هو توزيع ثنائي الحد: تغيير p أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته. بالنسبة للمتغير المستمر، يكون احتمال قيمة واحدة دقيقة مساوياً للصفر. تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل عدّ للنجاحات له توزيع ثنائي الحد بغض النظر عن الاعتماد. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• اكتب الحدث على شكل متباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة. ميّز بين P(X<k)، P(X≤k) ومتمم الذيل. عرّف الافتراضات في السياق.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

المتوسط المرجح بالاحتمالات للمتغير العشوائي. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

ما هو الميل عند نقطة واحدة؟

• الطريق المنحني له ميل مختلف عند مواقع مختلفة. لا يمكن أن يصف الميل المتوسط كل نقطة.
• تدرس هذه الدرس المشتقة: معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ y=ax^n، dy/dx=anx^(n-1). النقطة الثابتة تحقق dy/dx=0. تحقق من تغير إشارة المشتقة، أو المشتقة الثانية عندما تكون غير صفرية، لتصنيفها.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ y=x³-3x، dy/dx=3x²-3. عند x=1، الميل هو 0 و y=-2. المشتقة الثانية هي 6x، موجبة عند x=1، لذا فهي نقطة صغرى محلية. عند x=-1، y=2 والمشتقة الثانية سالبة، مما يعطي نقطة عظمى محلية.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• لا يعني الصفر في المشتقة دائماً وجود عظمى أو صغرى: دالة y=x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الزيادة. يمكن أيضاً أن تنتج نقطة نهاية قيمة حدية على مجال محدد.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل نقطة لها مشتقة صفرية هي عظمى محلية أو صغرى محلية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• في مستوى GCSE/IGCSE استخدم فقط نطاق كثيرات الحدود المسموح به حسب المستوى؛ لا تضيف قواعد السلسلة والجداء والقسمة هناك. في المستويات المتقدمة، ربط المشتقة بالمعدلات والتحسين مع مجال صالح.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

معدل التغير اللحظي، وأيضاً ميل المماس. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.

كم مقدار التغير المتراكم؟

• يعطينا الرسم البياني للسرعة حركة الجسيم في لحظة معينة. كيف يمكننا استعادة الإزاحة المتراكمة عبر الزمن؟
• تدرس هذه الدرس المكامل العكسي: دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ n≠-1، تكامل ax^n هو ax^(n+1)/(n+1)+C. التكامل المحدد هو تراكم مُعلَّم. افصل عند تغير الإشارة عند الحاجة إلى المساحة الكلية أو المسافة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

لـ v(t)=3t²-3 خلال 0≤t≤2، الإزاحة=[t³-3t]_0^2=2. بما أن v يغير إشارته عند t=1، المسافة=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. تلغي الثوابت فقط في حالة التكامل المحدد.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• تكامل 1/x هو ln|x|+C، وليس قاعدة القوة مع n=-1. يمكن أن يكون المساحة الموجهة صفراً حتى لو كانت المساحة المغلقة الكلية موجبة.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

التكامل المحدد يساوي دائماً مجموع المساحات الموجبة، حتى عندما يعبر الرسم البياني المحور. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• حدد معنى التكامل وضمن الوحدات الصحيحة. معدل مقاس بالثانية يتكامل ليصبح الكمية الأساسية، لا معدل آخر. اشتق مكاملاً عكسياً للتحقق منه.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

دالة تكون مشتقتها مساوية لكثافة التكامل المعطاة. حدد العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وتفسير النتيجة.

تركيز SL المدعوم. التقييم الأول 2021؛ جاري حتى 2028. مسار التقييم-2029 منفصل.. البقاء في الدليل ومتطلبات التقييم والعمل العملي تحتفظ بحصونها المسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

ما الذي يجعل التحقيقات رياضياتية؟

• طالب يرغب في توقع وقت الانتظار في طابور الكافتيريا المدرسية. يحتاج الاستكشاف المفيد إلى سؤال وبيانات ورياضيات يمكن للطالب شرحها.
• تدرس هذه الحصة الفرض: وهو شرط يُتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره.

اختر البنية الرياضية

• صيغ سؤالاً مركزاً مع متغيرات قابلة للقياس وطريقة عملية. احتفظ بسجل مؤرخ للقرارات والمصادر والحجج الرياضية. استخدم التكنولوجيا لدعم التحليل، واشرح كل مخرجات مهمة بكلماتك الخاصة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

سجل الطيار متوسط أوقات انتظار قدرها 3,5,7 دقيقة عندما يكون 10,20,30 أشخاصاً في المقدمة. نموذج أولي هو t=1+0.2n. عند n=25 يتوقع 6 دقيقة. انتظار فعلي قدره 8 يعطي باقٍ 2؛ تحقق من معدلات الخدمة المتغيرة بدلاً من إخفاء عدم التطابق.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• لا تنسخ استكشافاً عينة، ولا تخترع بيانات أو تصنع انخراطاً شخصياً. التوقع ليس دليلاً حتى يقارن بالملاحظات. consentimiento والخصوصية مهمان عند جمع بيانات مدرسية.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

يمكن استبدال الاستكشاف الرياضي المشرف عليه المدرسة باختبار محاكاة كتابي限时. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو فرض يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• تشرف المدرسة على موافقة الموضوعات ومراحل التحقق والأصالة والتقييم. للاستخدام الحالي 2021، استخدم دليل المدرسة الحالي ومعاييرها؛ معايير الاستقصاء 2029 تتبع نسخة تقييم مختلفة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج SL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

شرط يتبنى لجعل النموذج الرياضي ممكناً ويجب تقييم تأثيره. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.