FP3 · Further Pure Mathematics 3

رياضيات نقية إضافية 3 (FP3، ورقة WFM03/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 علامات، أول تقييم يونيو 2020) هي الوحدة النقية الأخيرة: P1–P4 و FP1 مفروضة وقد يتم اختبارها. وهي تضيف الدوال الزائدية ومقلوباتها، والإهليلج والدالة الزائدة مع خصائص البؤرة-المحور المباشر تقنيات الاشتقاق والتكامل المتبقية (الصيغ التناقصية، وقوس الطول، الأسطح الدوارة)، والجداءات المتجهية مع المستقيمات والمستويات في الأبعاد الثلاثة، و جبر المصفوفات حتى القيم الذاتية والتقطيع. يغطي هذا المرجع كل ذلك، مع ورقة 2025 يونيو كمثال محلول.

ما يجب معرفته لـ FP3 (مفترض، غير مكرر):

تُبنى الدوال الزائدية من الدوال الأسية: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ و$\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$، مع $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. منحنى $\cosh$ هو الخط الكاتيني، حتى مع قيمة صغرى $(0, 1)$؛ $\sinh$ دالة فردية تمر بنقطة الأصل؛ $\tanh$ دالة فردية محصورة بين خطوط المقاربات $y = \pm 1$. المتطابقتان اللتان يجب اشتقاقهما عند الحاجة هما $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ و$\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$؛ متطابقات مجموع إلى جداء تشبه نظيراتها المثلثية.

مثال محلول — متطابقة من التعريفات (WFM03 يونيو 2025 Q1). أثبت أن $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. من اليسار:

الاقتران $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ مع $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$، وكذا بالنسبة للحدود $4x$ — كل خطوة هي عملية محاسبة باستخدام النواتج $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$، ولهذا السبب تتطلب العلامات وجود الأشكال الأسية قبل أي اختصار. ثم حل $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: الـ المهوية تحوله إلى $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$، ولا يساوي $\cosh$ الصفر أبداً، لذا $\cosh 5x = 4$، مما يعطي $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ و $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

مثال محلول — معادلة كوش-سينش (أصلية). حل $2\cosh x + \sinh x = 2$: الـ التعريفات الأسية تعطي $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$، لذا $3e^x + e^{-x} = 4$، أي $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$، أي $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$، و $x = 0$ أو $x = -\ln 3$. تحقق من كليهما في المعادلة الأصلية — لا حاجة مطلقاً للتربيع.

توجد الدوال العكسية كدوال فردية لأن $\sinh$ و $\tanh$ دوال متباينة و $\cosh$ هي دالة متباينة لـ $x \ge 0$؛ ومخططاتها تمثل انعكاسات لـ $y = x$ للنماذج الأصلية المقيدة. يجب استنتاج المكافئات اللوغاريتمية، وليس مجرد ذكرها:

نمط الاستنتاج (arsinh). ضع $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: إذن $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$، لذا $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (يُستبعد الجذر السالب لأن $e^x > 0$) و $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. نفس بنية تربيعية-في-$e^x$ تحل كل معادلة زائدية مختلطة بدقة تامة.

لـالقطع المكافئ $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ الشكل البارامتري $x = a\cos t$، $y = b\sin t$؛ ولـالقطع الزائد $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ له $x = a\sec t$، $y = b\tan t$ وكذلك $x = a\cosh t$، $y = b\sinh t$ (الفرع الأيمن). الـ الانحراف $e$ يربط كل شيء بخاصية البؤرة–المحور $PS = e\cdot PN$ (المسافة إلى البؤرة = $e$ × المسافة إلى المحور): للمقطع الناقص $b^2 = a^2(1 - e^2)$، البؤرتان $(\pm ae, 0)$، المحوران $x = \pm\dfrac ae$؛ للمقطع الزائد $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ مع نفس صيغ البؤرة والمحور.

مثال محلل — الانحراف والبؤرتين (WFM03 يونيو 2025 سؤال 9أ). بالنسبة لـ H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$، $b^2 = 49$، إذن $49 = 64(e^2 - 1)$، $e^2 = \tfrac{113}{64}$ و$e = \tfrac{\sqrt{113}}8$؛ البؤرتان هما $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

بالتعويض عن $y = mx + c$ في المنحنى وفرض أن المميز يساوي صفراً نحصل على المماس الشروط: $c^2 = a^2m^2 + b^2$ للمقطع الناقص، $c^2 = a^2m^2 - b^2$ للمقطع الزائد (لذلك يُحتاج $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ هناك). عند نقطة معلمة، نشتق بدلاً من ذلك — لا حاجة للمميز. مسائل مواقع النقاط تعيد إنتاج FP1: المسافات إلى البؤرتين، أو المنتصفات، أو نسبة ثابتة.

مثال محلل — مماس وعمود ودائرة بؤرية (WFM03 يونيو 2025 سؤال 9ب–هـ). عند $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ على H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$، إذن المماس هو

يقاطع محور $y$ عند $Q = (0, -7\cot\theta)$؛ العمود المعطى $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ يقاطعه عند $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. الدائرة التي قطرها $QR$ (نهاياتها $q, r$ على محور $y$) لها المعادلة $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$، والتي تحتوي على نقطة $(x, 0)$ بالضبط عندما $x^2 = -qr$. هنا $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ لـ كل $\theta$، و$113 = (\sqrt{113})^2$ هو بالضبط مربع المسافة البؤرية — لذا كلا البؤرتين $(\pm\sqrt{113}, 0)$ تقعان على الدائرة. إلغاء $\theta$ هو جوهر السؤال.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$، ومن المقلوبات: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — كل منها يُثبت بعكس $y = f(x)$ و الاشتقاق الضمني، وكلها صالحة فقط على مجالها.

مثال محلول — مشتقات الدوال المقلوبة على مجال محدود (WFM03 يونيو 2025 Q4). بالنسبة لـ $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ مع $x > 0$:

حيث يحول $x > 0$ $\sqrt{x^2}$ إلى $x$ — شرط المجال يقوم بالعمل الحقيقي. عند تعيين $\dfrac{dy}{dx} = 0$ نحصل على $x = 1$ و$y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

النتائج القياسية تعكس المشتقات. أكمل المربع أولاً للمقامات الجذرية، و عالج الدوال المقلوبة بالتجزئة — خذ $u$ للدالة المقلوبة و$1$ للباقي:

مثال محلول — كلا الطريقتين (WFM03 يونيو 2025 Q2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: بما أن $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$، فالتكامل هو $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (اشتق عموماً للتحقق). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

أربعة تكاملات يجب حفظها جيداً، كل منها عبر $x = a\sinh t$ (أو $x = a\tan t$، تفكيكات من نوع $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. القانون التناقصي يعبر عن $I_n$ بدلالة $I_{n-1}$ (أو $I_{n-2}$): اشتق بالتجزئة الأجزاء التي تحتوي على الجذر $v$، ثم أعد كتابة الباقي من التكامل الجذري باستخدام تعريف $I_n$. طول القوس وسطح الدوران يتطلبان $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ و $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (بشكل بارامترى، $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ مع $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ من أجل $S$).

مثال محلول — بناء صيغة التناقص (WFM03 يونيو 2025 Q5). مع $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$، خذ $u = x^n$ و $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

باستخدام $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ لكشف $I_n$ و$I_{n-1}$. تجميع: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. ابدأ بـ $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ و$I_1 = 6$ (بالتعويض المباشر)، ثم $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$، و $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$، مما يعطي $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

مثال محلول — سطح بتعويض sinh (WFM03 يونيو 2025 Q7). تدوير $y = \cos 2x$، $0 \le x \le \tfrac\pi4$، عبر $2\pi$ حول المحور $x$ (ممنوع استخدام الآلة الحاسبة): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. مع $2\sin 2x = \sinh\theta$، لذا $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$، يصبح التكامل $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ بين $0$ و$\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$، لذا $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — تختصر عوامل $\cos 2x$ تمامًا، وهذا هو سبب تزويد التعويض.

الضرب الاتجاهي $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ هو عمودي على كلا العاملين مع $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — مساحة متوازي الأضلاع. الضرب الثلاثي القياسي $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ هو الحجم الموجه للمتوازي السطحي؛ الصفر يعني أن المتجهات الثلاثة في مستوى واحد. المستقيمات: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ أو $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; المستويات: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ أو $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ مع $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. المسافة من نقطة إلى مستوى: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$؛ أقصر مسافة بين مستقيمين متخالفين: إسقاط الفرق بين النقاط المرجعية على الناظم المشترك $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

مثال محلول — مستويات إلى مستقيمات إلى مسافة (WFM03 يونيو 2025 سؤال8). بالنسبة لـ $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: الناظم هو $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$، وبالتعويض بالنقطة المرجحية نحصل على $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. التقاطع مع $\Pi_2: x - y + z = 7$: اتجاه المستقيم هو $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ ونقطة بحل كلتا المعادلتين هي $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$، لذا $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. المستقيم المار بـ $A(2,1,3)$ و $B(3,0,2)$ له اتجاه $(1,-1,-1)$؛ الناظم المشترك هو $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$، وأقصر مسافة هي

المحددات والمقلوبات تمتد إلى $3\times3$: التوسع عبر أي صف أو عمود (الإشارات $+\,-\,+\,-\,+\,-$)؛ $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$، حيث مصاحبة المصفوفة هي منقول مصفوفة المعاملات المرافقة. المصفوفات المفردة ($\det = 0$) ليس لها معكوس و انهيار البُعد. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ و $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. القيمة الذاتية $\lambda$ مع المتجه الذاتي $\mathbf v$ يحقق $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — صفًا بصف، كل مركبة من $\mathbf{Av}$ تساوي $\lambda$ مضروبةً في المركبة المقابلة من $\mathbf v$ (ليس $\lambda$ نفسه). بمعلومية $\mathbf v$، استنتج $\lambda$ من أي صف حاصل ضرب فيه غير صفري؛ وإلا حل $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ وأعد التعويض العكسي. بالنسبة لمصفوفة متماثلة $\mathbf A$، المتجهات الذاتية للقيم الذاتية المختلفة متعامدة، ومصفوفة متعامدة $\mathbf P$ من المتجهات الذاتية المعيارية تقطيعها: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

مثال محلول — القيم الذاتية من متجه ذاتي معطى (WFM03 يونيو 2025 سؤال3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ له متجه ذاتي $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. الصف 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$، لذا $\lambda = 3$. الصف 2: $3 + 2a + b$ يجب أن يساوي $\lambda\times 2 = 6$، والصف 3: $a + 2 + b$ يجب أن يساوي $\lambda\times 1 = 3$. إذن $2a + b = 3$ و$a + b = 1$: بالطرح، $a = 2$ و$b = -1$. مع $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: الأثر هو $2$ وبتوسع على طول الصف 1، $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. القيم الذاتية المتبقية ثم تجمع لتساوي $2 - 3 = -1$ وتضرب في $\tfrac{-6}3 = -2$: وهي $1$ و$-2$. المتجهات الذاتية: من أجل $\lambda = 1$، بحل $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ نحصل على $-\,y + 4z = 0$ و$3x + y - z = 0$، لذا $\mathbf v = (-1, 4, 1)$؛ من أجل $\lambda = -2$، $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ يعطي $3x - y + 4z = 0$ و$2x + y + z = 0$، إذن $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (تم التحقق منهما في كلا الصفين). الأثر و المحددات هي التحقق المجاني: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ و $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

مثال محلول — مفرد ومعكوس بمعامل (WFM03 يونيو 2025 Q6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$، لذا يكون $\mathbf A$ مفردًا عندما $k = -\tfrac98$. يعطي المرافق (مقاربات منقولة) ما يلي:

تحقق من صحة مدخل (1,1) في المنتج: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$، والذي يلغي المحدد ليعطي $1$ ✓.

• عرّف $\cosh, \sinh, \tanh$ من الدوال الأسية؛ اشتق المتطابقات الأساسية؛ حل المعادلات المختلطة عبر $e^x$ التربيعية بإجابات $\ln$ دقيقة.
• اشتق صيغ $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$ اللوغاريتمية؛ اشتق المعكوسات مع احترام مجالات التعريف.
• استخدم المعلمات البيضاوية والقطع الزائد؛ حول بين $b^2 = a^2(1-e^2)$ و $a^2(e^2-1)$؛ حدد البؤرات والمرايا المباشرة؛ أوجد المماسات والأعمدة عند النقاط المعلمية وبشرط $y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• اشتق وأكامل الدوال الزائدية والمعكوسة، بما في ذلك بالتجزئة للمكاملات من نوع $\int\operatorname{arcosh}$.
• احفظ التكاملات القياسية الأربعة للجذور/الكسور; بنا صيغ التناقص بالتجزئة وتكرارها؛ احسب أطوال الأقواس وأسطح الدوران بدقة.
• احسب $\mathbf a\times\mathbf b$ و $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ بمعنى المساحة والحجم؛ انتقل بين الصيغة المستوية والصيغة الخطية؛ أوجد مسافات نقطة-مستوى وخطوط مائلة.
• احسب محددات $3\times3$، اعكسها عبر المرافق، تعامل مع الحالة المفردة، أوجد القيم والمتجهات الذاتية (مُعدَّلة إذا طُلب ذلك) وقم بتقطيع المصفوفات المتماثلة باستخدام $\mathbf P$ متعامد.