S3 · Statistics 3

إحصاء 3 (S3، ورقة WST03/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 درجات، التقييم الأول يونيو 2020) هي الوحدة الأخيرة للإحصاء: يُفترض S1–S2. تحتوي الكتيبات على جداولNormal و جداول كاي-تربيع بالإضافة إلى قيم Spearman الحرجة. يغطي هذا المرجع التركيبات للمتغيرات الطبيعية، طرق العينات، المقدرات وتوزيع متوسط العينة، فترات الثقة واختبارات الفرضيات للوسط الحسابي (عينة واحدة وعينتين)، اختبار الملاءمة و الجداول الاتصالية، والتعلق بالرتب مع اختبارها.

ما يجب معرفته لـ S3 (غير موجود في الكتيب):

المتغيرات الطبيعية المستقلة تتكامل لتصبح طبيعية: اجمع المتوسطات، واجمع المعاملات المربعة والتباينات. بالنسبة لـ $3S$ حيث $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — يتضاعف الوسط الحسابي ثلاثة أضعاف ولكن التباين يتضاعف تسعة أضعاف. تعمل الفروق بنفس الطريقة: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$، و$P(|C_1 - C_2| > c)$ ضعف الاحتمال في الذيل الواحد. احتمالاً بالتناظر.

مثال محلول (WST03 يونيو 2025 Q8). $S \sim N(18, 0.03^2)$، $C \sim N(25, 0.03^2)$، $P \sim N(15, 0.2^2)$ بشكل مستقل (كجم). (أ) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (انحراف معياري 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (ب) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (ج) مع $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$، يتحول الحدث $T < 30P_1 + 190$ إلى $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — توزيع طبيعي بمتوسط $504 + 125 - 435 = 194$ وتباين تباين $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$، لذا $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

تعطي العينة العشوائية البسيطة كل فرد (وكافة عينات الحجم $n$) فرصة متساوية؛ استخدم أرقاماً عشوائية من إطار العينة. أخذ العينات المنتظم يختار كل فرد $x$ بعد بداية عشوائية — مثلاً 20 من 360، $x = 18$؛ وهو يعمل جيداً على القوائم المرتبة ويزيل تحيز المختار، لكن الأفراد في نفس الجزء لا يمكنهم ظهور معاً أبداً (المسافات ثابتة). أخذ العينات الطبقي يقسم حسب الطبقات ويعين عينة لكل منها بنسبتها المئوية — الأفضل عندما تختلف المجموعات داخلياً. أخذ العينات الكمي يملأ حصصاً يحددها المحاورون بدون إطار عينة — رخيص لكنه عرضة لتحيز المحاور. اذكر ميزة واحدة وعيباً واحداً لكل طريقة.

الإحصائية لا تحتوي على معاملات مجهرية معروفة. يكون المقدر غير متحيز إذا كان توقعه يساوي المعامل؛ ويكون تحيزه هو الفارق: $\bar X$ لـ $\mu$، $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ لـ $\sigma^2$ (حيث $n-1$ هو التصحيح). يكون التحيز $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$ في الإشارة والمقدار. يحقق متوسط العينة $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: كلما كبرت العينات انكمشت الخطأ المعياري $\sigma/\sqrt n$.

مثال محلول (WST03 يونيو 2025 سؤال6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$، لذا فإن $R$ متحيز بـ تحيز $\tfrac\mu4$. وبما أن $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ و $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ كلاهما غير متحيزين: فإن التوقعات تفرض $a - b = 2$ و$14a + 6b = 20$، وبالتالي $a = 1.6$، $b = -0.4$.

مثال محلول — استعادة المعلمات (WST03 يونيو 2025 سؤال7). بافتراض $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ و$P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: تكون قيم z هي $-0.4$ and $2.1$, so $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ and $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (الخطأ المعياري 12) و$\mu = 45.2 + 4.8 = 50$؛ ثم $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

فترة ثقة لـ $\mu$ (مع تباين معروف) هي $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ مع $z = 1.96$ (95%)، $1.6449$ (ذيل واحد 95% الحرج)، $2.5758$ (99%). التفسير: تستوعب الإجراء $\mu$ في 95% من العينات — ليس "احتمالية أن يقع μ داخل 0.95". الإحصاء الاختبار $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$؛ عندما يكون التباين غير معروف و $n$ كبيرًا، استبدله بـ $s$ (يُصرّح أيضًا نظرية الحد المركزي بتوزيعات غير طبيعية عندما تكون $n$ كبيرة). تُصاغ الاستنتاجات في ضوء الأدلة في السياق.

مثال محلول — عينتان مع فاصل (WST03 يونيو 2025 السؤال4). السناجر الرمادية ($n = 80$، $\bar x = 500$، $s_x^2 = 1156$) والسناجر الحمراء ($n = 80$؛ $\sum y = 23200$، $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ عند 5%:

لذا نرفض H₀ — المتوسط الرمادي أعلى من الأحمر بأكثر من 200 غرام. افتراض استبدال التباين ($\sigma^2 = s^2$ لكل توزيع) هو ما يبرر استخدام هذه الصيغة.

ملاءمة النموذج تقارن التعدادات المرصودة مع المتوقعة من النموذج: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. درجات الحرية = (الخلايا − 1) − (المعاملات المقدرة من البيانات): توزيع ثنائي الحدين مع p̂ المقدرة يفقد واحدًا آخر. ادمج خلايا الذيل التي تكون فيها التردد المتوقع أقل من 5 قبل أي شيء آخر. جداول الاستقلالية تختبر الارتباط بين اثنين من التصنيفات بـ $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ و $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

مثال محلول — ملاءمة توزيع ثنائي الحدين (WST03 يونيو 2025 Q5). ذكور في 250 مجاميع من 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$، مما يعطي الترددات المتوقعة $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$. يساهم فئة $r$ بـ $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$، لذا مع $\sum = 5.70$ المعطى للباقي، $X^2 = 10.95$ على درجات الحرية $6 - 1 - 1 = 4$؛ تم تجاوز القيمة الحرجة 9.488 بنسبة 5% — ارفض: النموذج الثنائي غير مناسب.

مثال محلول — الارتباط (WST03 يونيو 2025 Q3). نوع المحرك × أول مشكلة timing (250 cars, 3×3): the diesel/month 1–6 cell has $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$؛ مع 7.444 للبقية الثمانية خلايا، $X^2 = 12.325 > 9.488$ على 4 درجة حرية — دليل على وجود ارتباط بين نوع المحرك وموعد بدء المشاكل.

معامل ارتباط رانك سبيرمان يقيس الاتفاق الترتيبي بين ترتيبين؛ اختبر $\text{H}_0\colon\rho = 0$ مقابل الجدول واستنتج بـ كلمات حول الترتيبات.

معامل ارتباط رانك سبيرمان $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ يقيس الاتفاق الترتيبي بين ترتيبين (لم يتم فحص التعادل). اختبر $\text{H}_0\colon \rho = 0$ ضد بدائل أحادية أو ثنائية الذيل باستخدام جدول القيم الحرجة؛ استنتج في السياق ("لا يوجد كفاية للدليل على الاتفاق الإيجابي بين القاضيَين").

مثال محلول (WST03 يونيو 2025 Q2). حكمان يرتبان 10 أداءً: الرتبة أحادي الذيل، القيمة الحرجة هي $\sum d^2 = 66$: $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$، لذا لا نرفض H1 — عند مستوى ذيل واحد تكون القيمة الحرجة هي 0.7455: $0.6 < 0.7455$، لذا لا ترفض H₀ — لا يوجد دليل كافٍ على وجود ارتباط إيجابي بين تصنيفات المحكمين.

• اجمع المتغيرات الطبيعية المستقلة (مع مربعات المعاملات على التباينات); تعامل مع الفروقات و|الفروقات| بالتماثل.
• سمِّ وأسوّج أربع طرق للعينات؛ احسب المسافة المنتظمة في العينات المنهجية وخصائص استحالتها.
• تحقق من الإحصاءات للمعاملات، واحسب التوقعات للانحياز، وحل معادلات المقدر غير المنحاز المزدوج.
• استخدم SE σ/√n؛ استعد (μ, σ) من احتماليين لمتوسط عينة؛ واحسب احتمالات لـ X̄.
• بنِّ فترات ثقة مبنية على z وفسرها؛ أجرِ اختبارات لعينة واحدة ولعينتين مع تعويض التباين وصياغة نظرية الحد المركزي.
• احسب التواترات المتوقعة (نموذج أو جدول تباعيد)، ودمج الخلايا المنخفضة، واجلب المعاملات المقدرة من درجات الحرية، وقارن مع جدول χ².
• احسب rₛ لسبيرمان من الرتب واختبره ضد الجدول بصياغة الفرضيات بالرموز والاستنتاج بالكلمات.