Hyperbolic functions and inverse relations
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| hyperbolic cosine/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈkəʊsaɪn/ | جيب التمام الزائدي |
كيف يمكن النمو والتناقص أن يُنشِئا منحنى متماثلًا؟
- الكابل المعلق له ملف انحناء مرتبط بالدوال الأسية. الدوال الزائدية تجمع بين النمو والتناقص بشكل متماثل.
- تدرس هذه الدرس جيب التمام الزائدي: الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2.
اختر البنية الرياضية
- عرّف sinh x=(e^x-e^(-x))/2 و cosh x=(e^x+e^(-x))/2. متطابقتهم هي cosh²x-sinh²x=1. المشتقات هي sinh prime=cosh و cosh prime=sinh.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Which identity do hyperbolic functions satisfy?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Directly from the definitions: (eˣ+e⁻ˣ)²/4 - (eˣ-e⁻ˣ)²/4 = 1. The MINUS sign distinguishes it from the circular identity cos²+sin²=1.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
عند x=ln2، تكون e^x=2 و e^(-x)=1/2. وبالتالي cosh x=1.25 و sinh x=0.75. الفرق التربيعي بينهما هو 1.5625-0.5625=1. لعكس y=sinh x، حل معادلة تربيعية في e^x واختر الجذر الموجب.
Hyperbolic functions and inverse relations
Define sinh x=(e^x-e^(-x))/2 and cosh x=(e^x+e^(-x))/2
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find cosh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^(ln2)=2 and e^(-ln2)=1/2. Their half-sum is 1.25.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- المتطابقة الزائدية تحتوي على إشارة طرح. cosh ليس دالة تقابلية (one-to-one) على جميع المدخلات الحقيقية؛ عكسه المعتاد يستخدم x≥0. لا يمكن تعويض المتطابقات المثلثية الدائرية العادية دون تغيير.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
المتطابقة للدوال الزائدية هي cosh²x+sinh²x=1. هذه العبارة خاطئة. اشرح التعريف أو الافتراض الذي تخالفه.
Find sinh(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Their half-difference is (2-1/2)/2=0.75.
The identity for hyperbolic functions is cosh²x+sinh²x=1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The hyperbolic identity has a minus sign. cosh is not one-to-one on all real inputs; its usual inverse uses x≥0. Ordinary circular-trigonometric identities cannot be substituted unchanged.
تفسير موقف جديد
- استخدم التعريفات الأسية لإثبات المتطابقات وحل المعادلات. حدد قيود المجال للدوال العكسية قبل اشتقاقها أو تكاملها.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find cosh²(ln2)-sinh²(ln2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.25²-0.75²=1, agreeing with the hyperbolic identity.
Match each hyperbolic function to its exponential form.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cosh is the even part and sinh the odd part of eˣ; their derivatives swap them, mirroring - but not copying - sine and cosine.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- edexcel IAL رياضيات متقدمة؛ الوحدة الرسمية FP3. يتم تحديد إثراء الوحدات الأخرى في مراجعة النطاق؛ وهي ليست شرطًا إضافيًا للحصول على المال.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الدالة cosh x=(e^x+e^(-x))/2. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.