النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، مراجعة فبراير 2026. الحالات الصفية الأصلية ليست نموذجاً رسمياً؛ حافظ على حدود كل نموذج مصدر (المُصنَّف أو الاختبار الميداني) كما هي.
- اجمع ومقيّس المتجهات مركبةً بمرتكبٍ
- اضرب مصفوفة ومتجه بأبعاد متوافقة
- فسّر المدخلات والوحدات في النموذج الكمي
المواصفات المسبقة: الأزواج المرتبة؛ نظرية فيثاغورس؛ الضرب والجمع.
شرح واختيار الطريقة
متجه ثنائي الأبعاد يسجل إزاحة مرتبة أو كمية ثنائية أخرى. اجمع المركبات المقابلة واضرب كليهما في مقدار قياسي. المتجه من A إلى B هو B-A، وليس A-B. مقداره √(u²+v²) في مستوى إحداثي إقليدي؛ الاتجاه والمقدار معلومتان مختلفتان.
تُنظّم المصفوفة المدخلات في صفوف وأعمدة. اجمع فقط المصفوفات ذات نفس الشكل، مدخلاً بمدخل. بالنسبة للضرب، يجب أن يساوي عدد أعمدة العامل الأول عدد صفوف العامل الثاني. ضرب مصفوفة 2×3 في متجه 3×1 ينتج نتيجة 2×1: كل ناتج هو حاصل الضرب النقطي لواحد من الصفوف مع المتجه.
الترتيب مهم: ضرب المصفوفات ليس إبداليًا بشكل عام. إذا كان ضرب A في B معرفًا، فقد لا يكون ضرب B في A معرفًا أو قد يُنتج نتيجة مختلفة. بالنسبة لصف يحتوي على كميات عناصر وعمود يحتوي على أسعار الوحدة لكل عنصر بنفس الترتيب، يعطي الضرب النقطي التكلفة الإجمالية. ترتيب العناصر غير المطابق يُنتج إجابة رقمية أنيقة لكن بلا معنى.
سمِّ كل مركبة ووحدة قبل الحساب. يستخدم متجه الإزاحة وحدات مسافة، بينما قد تكون مدخل المصفوفة عدداً أو تكلفة أو معدلًا. بعد الضرب، فسّر وحدات الناتج. قد توفر مسائل ACT تعريف العملية؛ اتبع ذلك التعريف بدلاً من افتراض أن الرمز الغريب يعني دائمًا الضرب العادي.
مصفوفة تستخدم صفوفًا وأعمدة مُسمَّاة. صف كمية $(2,3)$ وعمود سعر $(4,5)^T$ يعطيان تكلفة $2(4)+3(5)=23$. يجب توافق الأبعاد الداخلية قبل وجود حاصل ضرب المصفوفات. متجه إزاحة من $A$ إلى $B$ هو $B-A$.
مثال محلول سابق: مجموع الإزاحات (3,4) و(-1,2) هو (2,6)؛ الأولى لها مقدار 5. صفان للتسوق (2,1) و(1,3)، مع الأسعار (4,5)، يعطيان تكاليف 2·4+1·5=13 و1·4+3·5=19. ضرب المصفوفة [[2,1],[1,3]] في العمود [4,5] هو العمود [13,19]. تمثل المدخلات أعدادًا مضروبة في سعر كل عنصر.
السياق الأصلي الكامل
كل سؤال تحويل يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مستقل واستدلال مُتحقق
Transfer 1
النقاط A وB بالمتر هي $(1,-2)$ و$(7,6)$. أوجد الإزاحة من A إلى B ومقدارها. ثم أوجد النقطة النهائية بعد إضافة إزاحة $(-3,2)$ متر إلى B.
التبرير: $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. المقدار $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. النقطة الجديدة $B+(-3,2)=(4,8)$ متر. يجب عدم عكس الاتجاه.
Transfer 2
طلبان في متجر لديهما صفوف الكميات $(3,2)$ و$(1,4)$ للأقلام ومفكرات. الأسعار هي 2 و7 يوان على التوالي. أعطِ حاصل ضرب المصفوفة وتكاليف الطلبين.
التبرير: $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$، $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ يوان لكل عنصر. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ يوان. يجب أن يتطابق ترتيب العناصر مع ترتيب الأسعار.
Transfer 3
A هي 2×3 وB هي 3×4. حدد حجم AB وما إذا كانت BA معرفة.
التبرير: AB لديه بُعد داخلي متوافق 3 والأبعاد الخارجية 2×4. تتطلب BA 4=2، لذا فهي غير معرفة. عكس حاصل الضرب ليس أمرًا غير ضار.
الحدود والاستخدام التالي
حافظ على شكل الصف/العمود وترتيب العناصر صريحاً. مقدار المت ليس مجموع مركباته.
جميع المهام هنا هي تمارين أصلية عامة مع إرشادات مكتوبة. وليست أسئلة رسمية أو تشخيصات حديثة. الاختبارات المحمية والنماذج الحالية تظل منفصلة.