Matrices as Functions · 作为函数的矩阵
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | 输入 | shū rù |
| output/ˈaʊtpʊt/ | 输出 | shū chū |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 复合 | fù hé |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
A matrix is a function
- You have used functions that take a number and return a number.
- A matrix takes a vector and returns a vector — it, too, is a function.
- Its "rule" is: multiply the input vector by the matrix.
- Seeing a matrix this way connects it to everything you know about functions.
矩阵是一个函数
- 你用过取一个数、返回一个数的函数。
- 矩阵取一个向量、返回一个向量——它也是一个函数。
- 它的"规则"是:把输入向量乘以这个矩阵。
- 这样看矩阵,把它和你对函数的所有认识连接起来。
Input in, output out
- The input 输入 is a vector; the matrix processes it; the output 输出 is a new vector.
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ takes $\langle 4, 5\rangle$ to $\langle 8, 15\rangle$ — it stretches each direction.
- Think of the matrix as a machine: vector in the top, transformed vector out the bottom.
- A whole region of inputs maps to a whole region of outputs.
输入进,输出出
- 输入(input)是一个向量;矩阵处理它;输出(output)是一个新向量。
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ 把 $\langle 4, 5\rangle$ 送到 $\langle 8, 15\rangle$——它把每个方向拉伸。
- 把矩阵想成一台机器:向量从顶部进,变换后的向量从底部出。
- 一整片输入区域映射到一整片输出区域。
Viewing a 2 × 2 matrix as a function, its input · 输入 and output · 输出 are both… · 将2×2矩阵视为函数时，其输入和输出都是…
A matrix-as-function takes an input · 输入 vector and returns an output · 输出 vector — a function from the plane to the plane. · 作为函数的矩阵接收一个输入向量并返回一个输出向量——这是一个从平面到平面的函数。
The matrix $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (input $\to$ output) sends $\langle 4, 5\rangle$ to · 到 $\langle 8, ?\rangle$. What is the output $y$? · 矩阵$\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$（输入$\to$输出）将$\langle 4, 5\rangle$发送到$\langle 8, ?\rangle$。输出$y$是什么？
Row 2 is $\langle0, 3\rangle$, so the output $y = 3\cdot5 = 15$; the whole output is $\langle8, 15\rangle$. · 第2行为$\langle0, 3\rangle$，所以输出$y = 3\cdot5 = 15$；整个输出是$\langle8, 15\rangle$。
A function from the plane to the plane
- The inputs are all vectors in the plane; the outputs are vectors in the plane too.
- So a $2\times2$ matrix is a function that reshapes the whole plane at once.
- Chaining two of them — output of one becomes input of the next — is a composition 复合.
- The composition's matrix is simply the product of the two matrices.
从平面到平面的函数
- 输入是平面上的所有向量;输出也是平面上的向量。
- 所以一个 $2\times2$ 矩阵是一个一次性重塑整个平面的函数。
- 把两个串起来——一个的输出成为下一个的输入——是一个复合(composition)。
- 复合的矩阵就是两个矩阵的乘积。
Chaining two matrix functions (one after another) is a composition, and its matrix is the product. · 链接两个矩阵函数（依次执行）是一种复合，其矩阵是它们的乘积。
Just like composing ordinary functions, chaining matrix functions multiplies their matrices. · 就像复合普通函数一样，链接矩阵函数会相乘它们的矩阵。
Reversing the function
- If a function can be undone, its undo is the inverse function 反函数.
- For a matrix function, the inverse function is exactly the inverse matrix.
- It exists only when the determinant is non-zero — the same condition as before.
- Applying a matrix then its inverse returns every vector to where it started.
反转函数
- 如果一个函数能被撤销,它的撤销就是反函数(inverse function)。
- 对一个矩阵函数,反函数恰好是逆矩阵。
- 它只有在行列式非零时才存在——和之前一样的条件。
- 先作用一个矩阵、再作用它的逆,让每个向量回到它出发的地方。
A matrix as a function · 作为函数的矩阵
A matrix takes an input vector and returns an output vector - a function on vectors. · 一个矩阵接收输入向量并返回输出向量——这是作用于向量的函数。
The inverse function of a matrix function is given by… · 矩阵函数的逆函数由…给出
The inverse matrix undoes the function — it exists only when the determinant is non-zero. · 逆矩阵撤销了该函数——它仅在行列式非零时存在。
Select all · 所有 true statements about matrices as functions. · 选择关于作为函数的矩阵的所有正确陈述。
The output is a vector, not a number. The other three are correct. · 输出是一个向量，而非数字。其余三项是正确的。
Why the function view helps
- It lets you reuse function ideas: domain, range, composition, inverse.
- Composition-as-multiplication explains why transformation order matters.
- The determinant test becomes "does this function have an inverse?"
- This is the bridge from precalculus functions to linear algebra.
函数视角为什么有帮助
- 它让你重用函数的想法:定义域、值域、复合、反函数。
- "复合即相乘"解释了为什么变换顺序重要。
- 行列式检验变成了"这个函数有反函数吗?"
- 这是从预备微积分函数通往线性代数的桥梁。
Not every matrix function can be reversed. If the determinant is zero, the matrix squashes the plane onto a line — many inputs share one output, so there is no inverse function. Reversibility requires a non-zero determinant.
并非每个矩阵函数都能被反转。如果行列式为零,矩阵把平面压到一条线上——许多输入共享一个输出,所以没有反函数。可逆性需要非零的行列式。
Let $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$.
- Input $\langle1,1\rangle$ → output $\langle2,3\rangle$.
- Input $\langle4,5\rangle$ → output $\langle8,15\rangle$.
- Determinant $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$, so $f$ has an inverse function that shrinks by $\tfrac12$ and $\tfrac13$.
设 $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$。
- 输入 $\langle1,1\rangle$ → 输出 $\langle2,3\rangle$。
- 输入 $\langle4,5\rangle$ → 输出 $\langle8,15\rangle$。
- 行列式 $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$,所以 $f$ 有一个反函数,它按 $\tfrac12$ 和 $\tfrac13$ 收缩。
A matrix is a function whose input and output are both vectors — a map from the plane to the plane. Chaining matrix functions is composition, and its matrix is the product. The inverse function is the inverse matrix, which exists only when the determinant is non-zero.
矩阵是一个函数,它的输入和输出都是向量——一个从平面到平面的映射。串联矩阵函数是复合,它的矩阵是乘积。反函数是逆矩阵,它只有在行列式非零时才存在。