Parametric Circles and Lines · 参数化的圆与直线
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 参数 | cān shù |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | 单位圆 | dān wèi yuán |
Drawing circles the easy way
- A circle is impossible to write as a single $y = f(x)$ — it fails the vertical-line test.
- But with a parameter, it becomes beautifully simple: an angle sweeping around.
- Lines, too, get a clean parametric form built from a starting point and a direction.
- These two shapes are the workhorses of parametric geometry.
轻松画圆的方法
- 一个圆无法写成单个 $y = f(x)$——它通不过垂直线检验。
- 但有了参数,它变得优美而简单:一个扫过一圈的角。
- 直线也有一个干净的参数形式,由一个起点和一个方向构成。
- 这两种形状是参数几何的主力。
A line, parametrically
- Start at a point $(x_0, y_0)$ and move a fixed step each unit of $t$.
- The parametric equations 参数方程 are $x = x_0 + at$ and $y = y_0 + bt$.
- Here $(a, b)$ is the direction, and $t$ is the parameter 参数 that carries you along.
- As $t$ runs over all reals, the point traces the full straight line.
直线的参数形式
- 从一点 $(x_0, y_0)$ 出发,每单位 $t$ 移动固定的一步。
- 参数方程(parametric equations)是 $x = x_0 + at$ 和 $y = y_0 + bt$。
- 这里 $(a, b)$ 是方向,$t$ 是带你前进的参数(parameter)。
- 当 $t$ 走遍所有实数,这个点描出整条直线。
A line through a point in a fixed direction can be written parametrically as… · 过某点、沿固定方向的直线可以参数化地写成……
Starting at $(x_0, y_0)$ and moving by $(a, b)$ each unit of $t$ traces a straight line. · 从 $(x_0, y_0)$ 出发,每单位 $t$ 移动 $(a, b)$,描出一条直线。
A circle, parametrically
- A point on the unit circle 单位圆 at angle $t$ is $(\cos t, \sin t)$.
- Scale by the radius $r$: $x = r\cos t$ and $y = r\sin t$ trace a circle of radius $r$.
- As $t$ sweeps from $0$ to $2\pi$, the point travels once around, counter-clockwise.
- Shift by $(h, k)$ to centre the circle anywhere.
圆的参数形式
- 单位圆(unit circle)上角度为 $t$ 的点是 $(\cos t, \sin t)$。
- 按半径 $r$ 放大:$x = r\cos t$、$y = r\sin t$ 描出半径为 $r$ 的圆。
- 当 $t$ 从 $0$ 扫到 $2\pi$,点绕一整圈,逆时针方向。
- 平移 $(h, k)$,就能把圆心放到任何地方。
Sweep the angle to trace a circle · 扫过角度来描出一个圆
As the parameter (an angle) sweeps from 0 to 2 pi, the point (cos t, sin t) travels once around the circle. · 当参数(一个角)从 0 扫到 2 pi,点 (cos t, sin t) 绕圆走一圈。
Which parametric equations trace a circle of radius $r$ centred at the origin? · 哪组参数方程描出以原点为中心、半径为 $r$ 的圆?
From the unit circle scaled by $r$: $x = r\cos t$ and $y = r\sin t$ trace the circle as $t$ goes $0$ to · 到 $2\pi$. · 由单位圆按 $r$ 放大:$x = r\cos t$,$y = r\sin t$,当 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 描出圆。
The parametrization $x = \cos t,\ y = \sin t$ comes directly from the . · 参数化 $x = \cos t,\ y = \sin t$ 直接来自。
A point on the unit circle at angle $t$ is $(\cos t, \sin t)$ — the natural parametrization of a circle. · 单位圆上角度为 $t$ 的点是 $(\cos t, \sin t)$——圆的自然参数化。
Select all · 所有 true statements. · 选出所有正确的说法。
A circle can · can(能力与请求) be parametrized (that is the whole point). The other three are correct. · 圆可以被参数化(这正是重点)。其余三条正确。
Direction and speed
- The parametrization sets not just the shape but the way it is drawn.
- $x = \cos t, y = \sin t$ goes counter-clockwise; $x = \cos t, y = -\sin t$ goes clockwise.
- Replacing $t$ with $2t$ traces the same circle twice as fast.
- So the same circle has many parametrizations, each with its own motion.
方向与速度
- 参数化不仅决定形状,还决定它被描画的方式。
- $x = \cos t, y = \sin t$ 逆时针走;$x = \cos t, y = -\sin t$ 顺时针走。
- 把 $t$ 换成 $2t$,以两倍速度描同一个圆。
- 所以同一个圆有许多参数化,每一种都有自己的运动。
Restricting $t$ to · 到 $0 \le t \le \pi$ in · 入 $x = \cos t,\ y = \sin t$ traces only the top half of the circle. · 在 $x = \cos t,\ y = \sin t$ 中把 $t$ 限制到 $0 \le t \le \pi$,只描出圆的上半部分。
From $t = 0$ to · 到 $\pi$, $y = \sin t \ge 0$, so only the upper semicircle is drawn. · 从 $t = 0$ 到 $\pi$,$y = \sin t \ge 0$,所以只画出上半圆。
Drawing only part
- Restricting the parameter interval draws just an arc.
- $0 \le t \le \pi$ in $(\cos t, \sin t)$ gives only the top half of the circle.
- For a line, restricting $t$ gives a segment or a ray.
- Choose the interval to draw exactly the piece you want.
只画一部分
- 限制参数区间,就只画出一段弧。
- 在 $(\cos t, \sin t)$ 中取 $0 \le t \le \pi$,只给出圆的上半部分。
- 对直线,限制 $t$ 给出一条线段或射线。
- 选择区间,画出你想要的那一段。
The parametric form of a circle is not unique. $(\cos t, \sin t)$ and $(\sin t, \cos t)$ both trace the unit circle, but start at different points and go in different directions. Always check the starting point and direction, not just the shape.
圆的参数形式不唯一。$(\cos t, \sin t)$ 和 $(\sin t, \cos t)$ 都描出单位圆,但从不同的点开始、朝不同的方向走。永远要检查起点和方向,而不只是形状。
Parametrize the circle of radius $3$ centred at $(1, -2)$.
- Start from the unit-circle form and scale by $3$: $3\cos t$, $3\sin t$.
- Shift the centre to $(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$.
- As $t$ goes $0$ to $2\pi$, this traces the full circle once.
参数化以 $(1, -2)$ 为中心、半径为 $3$ 的圆。
- 从单位圆形式出发,按 $3$ 放大:$3\cos t$、$3\sin t$。
- 把中心平移到 $(1, -2)$:$x = 1 + 3\cos t$,$y = -2 + 3\sin t$。
- 当 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$,这描出整个圆一次。
A line is $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (a point plus a direction). A circle of radius $r$ is $x = r\cos t,\ y = r\sin t$, straight from the unit circle. These parametric equations let the parameter $t$ set the shape, direction, and speed — restrict $t$ to draw only an arc or segment.
直线是 $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$(一点加一个方向)。半径为 $r$ 的圆是 $x = r\cos t,\ y = r\sin t$,直接来自单位圆。这些参数方程让参数 $t$ 决定形状、方向和速度——限制 $t$ 就只画出一段弧或线段。