Parametric Functions · 参数函数
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | 参数方程函数 | cān shù fāng chéng hán shù |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 参数 | cān shù |
Following a moving point
- A bird's flight cannot be captured by "$y$ as a function of $x$" — it loops and doubles back.
- Instead, describe where the bird is at each moment: its $x$ and its $y$, each depending on time.
- That is the parametric idea: a third variable drives both coordinates.
- It frees us to draw any path, not just curves that pass the vertical-line test.
跟随一个运动的点
- 一只鸟的飞行无法用"$y$ 是 $x$ 的函数"来刻画——它会回环、会折返。
- 换个方式:描述鸟在每一时刻的位置:它的 $x$ 和它的 $y$,各自依赖于时间。
- 这就是参数的思想:第三个变量同时驱动两个坐标。
- 它让我们能画出任何路径,而不只是通过垂直线检验的曲线。
What a parametric function is
- A parametric function 参数方程函数 gives two rules: $x = x(t)$ and $y = y(t)$.
- These parametric equations 参数方程 share a common input $t$.
- For each value of $t$, you get one point $(x(t), y(t))$ on the curve.
- As $t$ runs through its interval, the point sweeps out the whole path.
什么是参数方程函数
- 参数方程函数(parametric function)给出两条规则:$x = x(t)$ 和 $y = y(t)$。
- 这些参数方程(parametric equations)共享一个输入 $t$。
- 对 $t$ 的每一个值,你得到曲线上的一个点 $(x(t), y(t))$。
- 当 $t$ 走遍它的区间,这个点就扫出整条路径。
A parametric function describes a curve using… · 参数函数使用...来描述曲线
A parametric function gives $x$ and $y$ each as a function of a parameter $t$: the pair $(x(t), y(t))$ traces the curve. · 参数函数将$x$和$y$分别表示为参数$t$的函数：数对$(x(t), y(t))$描绘出该曲线。
For · 支持 $x = t^2 - 3$ and $y = t$, what is the $x$-coordinate when $t = 2$? · 对于 $x = t^2 - 3$ 和 $y = t$，当 $x$坐标时 $t = 2$?
$x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; and $y = t = 2$, so the point is $(1, 2)$. · $x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$；以及$y = t = 2$，所以该点是$(1, 2)$。
A path, not a function of x
- Because both coordinates depend on $t$, the curve can loop, cross itself, or double back.
- It need not be a function of $x$ — a full circle or a spiral is perfectly fine.
- This is the key advantage over ordinary $y = f(x)$ graphs.
- The same picture would be impossible to write as a single $y$ in terms of $x$.
一条路径,而非 x 的函数
- 因为两个坐标都依赖 $t$,曲线可以回环、自交或折返。
- 它不必是 $x$ 的函数——一个完整的圆或一条螺线都完全可以。
- 这是相对普通 $y = f(x)$ 图像的关键优势。
- 同样这幅图,无法写成单个用 $x$ 表示的 $y$。
A parametric curve can trace a shape that is not a function of $x$ (like a full circle). · 参数曲线可以描绘不是$x$函数的形状（如完整的圆）。
Because both coordinates depend on $t$, the path can loop or double back — it need not pass the vertical-line test. · 因为两个坐标都依赖于$t$，路径可以循环或折返——不必通过垂直线测试。
The independent variable $t$ that drives both $x$ and $y$ is called the ____. · 自变量 $t$ 驱动了 $x$ 和 $y$ ，被称为 ____.
The parameter $t$ (often time) determines a single point $(x(t), y(t))$ for each of its values. · 参数$t$（通常是时间）为其每个值确定一个单一的点$(x(t), y(t))$。
Select all · 所有 true statements about parametric functions. · 选择关于参数函数的所有正确陈述。
A parametric curve need not · 不 be a function of $x$ — that is its advantage. The other three are correct. · 参数曲线不必是$x$的函数——这正是它的优势。其他三项是正确的。
The parameter
- The driving variable $t$ is the parameter 参数, and it often stands for time.
- Different values of $t$ place the point at different spots along the curve.
- The direction of increasing $t$ gives the path an orientation — the way it is traced.
- Restricting $t$ to an interval draws only part of the curve.
参数
- 驱动的变量 $t$ 是参数(parameter),它常常代表时间。
- $t$ 的不同值把点放在曲线上不同的位置。
- $t$ 增大的方向给路径一个走向——它被描画的方向。
- 把 $t$ 限制到一个区间,只画出曲线的一部分。
What parametric form allows · 哪种参数形式允许
In parametric form, x and y each depend on a parameter t. Sort each statement. · 在参数形式中，x和y分别依赖于参数t。对每个陈述进行排序。
Eliminating the parameter
- Sometimes you can solve one equation for $t$ and substitute to get a plain $y$–$x$ relation.
- For $x = t$, $y = t^2$, substituting gives $y = x^2$ — a familiar parabola.
- This recovers the shape but throws away the timing and direction.
- Keep the parametric form when the motion, not just the shape, matters.
消去参数
- 有时你可以从一个方程解出 $t$,代入另一个,得到普通的 $y$–$x$ 关系。
- 对 $x = t$、$y = t^2$,代入得到 $y = x^2$——一条熟悉的抛物线。
- 这恢复了形状,却丢掉了时间和方向。
- 当运动(而不只是形状)重要时,就保留参数形式。
A parametric curve carries more information than its shape alone: it also has a direction and timing. Two different parametrizations can trace the same shape at different speeds or in opposite directions — do not treat them as identical.
参数曲线携带的信息比单纯的形状更多:它还有一个方向和时间。两种不同的参数化可以以不同速度或相反方向描出同一个形状——不要把它们当作相同。
Plot $x = t^2 - 3$, $y = t$ for $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Points: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Joined in order, they trace a sideways parabola opening to the right.
- No vertical line rule applies — this is not a function of $x$.
对 $t = -2, -1, 0, 1, 2$,画 $x = t^2 - 3$、$y = t$。
- 点:$(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$。
- 按顺序连起来,它们描出一条向右开口的横向抛物线。
- 没有垂直线规则适用——这不是 $x$ 的函数。
A parametric function describes a curve with parametric equations $x = x(t)$ and $y = y(t)$, driven by a parameter $t$ (often time). Because both coordinates depend on $t$, the path can loop and need not be a function of $x$, and it carries a direction and timing.
参数方程函数用参数方程 $x = x(t)$ 和 $y = y(t)$ 描述曲线,由参数 $t$(常常是时间)驱动。因为两个坐标都依赖 $t$,路径可以回环、不必是 $x$ 的函数,并携带方向和时间。