Transformations of Sinusoidal Functions · 正弦型函数的变换
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 振幅 | zhèn fú |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | 中线 | zhōng xiàn |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期 | zhōu qī |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | 相位平移 | xiàng wèi píng yí |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | 正弦型函数 | zhèng xián xíng hán shù |
Bending the parent wave
- The parent $\sin x$ is fixed, but real waves are taller, faster, and shifted.
- Four transformations reshape it into any sinusoid you need.
- Two act vertically (on the output), two act horizontally (on the input).
- Learn what each dial does, and you can graph or write any wave.
弯折母波
- 母函数 $\sin x$ 是固定的,但真实的波更高、更快,还被平移过。
- 四种变换把它重塑成你需要的任何正弦型曲线。
- 两种作用于竖直方向(对输出),两种作用于水平方向(对输入)。
- 学会每个旋钮的作用,你就能画出或写出任何波。
Vertical changes
- Multiplying by $a$ stretches the wave vertically: the amplitude 振幅 becomes $|a|$.
- A negative $a$ also flips the wave upside down.
- Adding $d$ raises or lowers the whole wave, setting the midline 中线 to $y = d$.
- Together these fix the peak ($d + |a|$) and trough ($d - |a|$).
竖直方向的改变
- 乘以 $a$ 把波竖直拉伸:振幅(amplitude)变成 $|a|$。
- 负的 $a$ 还会把波上下翻转。
- 加上 $d$ 把整条波升高或降低,把中线(midline)设为 $y = d$。
- 两者一起确定波峰($d + |a|$)和波谷($d - |a|$)。
Increasing $|a|$ in · 入 $y = a\sin(bx) + d$ makes the wave… · 在 $y = a\sin(bx) + d$ 中增大 $|a|$ 会使波……
$|a|$ is the amplitude · 振幅, so a larger $|a|$ stretches the wave taller. · $|a|$ 是振幅,所以更大的 $|a|$ 把波拉得更高。
Increasing $d$ in · 入 $y = a\sin(bx) + d$ … · 在 $y = a\sin(bx) + d$ 中增大 $d$ ……
$d$ is the midline level, so adding to it lifts the whole wave up. · $d$ 是中线的高度,所以给它加数会把整条波抬上去。
Horizontal changes
- The factor $b$ squeezes the wave horizontally: the period 周期 becomes $\tfrac{2\pi}{b}$.
- A bigger $b$ means faster cycling — more waves in the same space.
- The constant $c$ produces a phase shift 相位平移, sliding the wave left or right.
- As always, $(x - c)$ moves the graph right by $c$.
水平方向的改变
- 因子 $b$ 把波水平压缩:周期(period)变成 $\tfrac{2\pi}{b}$。
- $b$ 越大,循环越快——同样的空间里波更多。
- 常数 $c$ 产生一个相位平移(phase shift),把波向左或向右滑动。
- 一如既往,$(x - c)$ 把图像向右移 $c$。
Stretch, shift, and lift a sine wave · 拉伸、平移、抬升一条正弦波
y = a·sin(b(x − c)) + d
Grow a to raise the amplitude, grow b to shorten the period, change c to slide sideways, and change d to raise the midline. · 增大 a 提高振幅,增大 b 缩短周期,改变 c 左右滑动,改变 d 抬高中线。
For · 支持 $y = \sin(3x)$, what is the period? (Use $\pi \approx 3.14$; give the value of $2\pi/3$.) · 对 $y = \sin(3x)$,周期是多少?(用 $\pi \approx 3.14$;给出 $2\pi/3$ 的值。)
Period · 周期 $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — tripling $b$ shrinks the period to a third. · 周期 $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$——$b$ 变三倍,周期缩到三分之一。
The constant $c$ inside $\sin(b(x - c))$ produces a horizontal ____ shift. · $\sin(b(x - c))$ 里面的常数 $c$ 产生一个水平____平移。
A phase shift slides the wave left or right without changing its shape. · 相位平移在不改变形状的前提下把波左右滑动。
Combining all four
- A full sinusoidal function 正弦型函数 uses all four at once: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Apply them in a sensible order: stretch, then shift.
- Each parameter acts independently, so you can read them off one at a time.
- The same four transform a cosine identically.
四者合一
- 一个完整的正弦型函数(sinusoidal function)同时用上四者:$y = a\sin(b(x-c)) + d$。
- 按合理的顺序应用:先拉伸,再平移。
- 每个参数独立作用,所以你可以一个一个地读出来。
- 同样的四者对余弦有完全相同的作用。
Match each parameter of $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Select all · 所有 correct. · 匹配 $y = a\sin(b(x-c)) + d$ 的每个参数。选出所有正确的。
$c$ controls the phase shift, not amplitude. The other three are correct. · $c$ 控制相位平移,而不是振幅。其余三条正确。
Reading a transform from a graph
- Measure the midline: average the highest and lowest points → that is $d$.
- Measure the amplitude: half the distance from peak to trough → that is $|a|$.
- Measure the period: the horizontal length of one cycle → gives $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Find where a cycle "starts" to read the phase shift $c$.
从图上读出变换
- 量中线:把最高点和最低点平均 → 那就是 $d$。
- 量振幅:波峰到波谷距离的一半 → 那就是 $|a|$。
- 量周期:一个循环的水平长度 $T$ → 由此 $b = \tfrac{2\pi}{T}$。
- 找到一个循环"开始"的地方,读出相位平移 $c$。
Amplitude and midline come from outside the sine (they scale and lift the output); period and phase shift come from inside (they act on the input). Mixing up inside and outside — especially the backwards horizontal shift — is the classic sinusoid error.
振幅和中线来自正弦外面(它们缩放并抬升输出);周期和相位平移来自里面(它们作用于输入)。混淆里外——尤其是那个反着来的水平平移——是正弦型曲线的经典错误。
Describe the transformations in $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$; midline $y = 3$; so it swings between $-1$ and $7$.
- Period $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Phase shift: right by $1$ (from the $x - 1$ inside).
描述 $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$ 中的变换。
- 振幅 $|a| = 4$;中线 $y = 3$;所以它在 $-1$ 和 $7$ 之间摆动。
- 周期 $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$。
- 相位平移:向右 $1$(来自里面的 $x - 1$)。
Transform the parent sine with four dials: $a$ sets the amplitude, $d$ the midline, $b$ the period ($\tfrac{2\pi}{b}$), and $c$ the phase shift. Outside-the-sine values act vertically; inside values act horizontally and run backwards.
用四个旋钮变换母正弦:$a$ 决定振幅,$d$ 决定中线,$b$ 决定周期($\tfrac{2\pi}{b}$),$c$ 决定相位平移。正弦外面的值作用于竖直方向;里面的值作用于水平方向,而且是反着来的。