Transformations of Functions · 函数的变换
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | 伸缩 | shēn suō |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
Move it, stretch it, flip it
- Learn the shape of one "parent" function, and you get a whole family for free.
- Slide it, stretch it, or flip it, and the equation changes in a predictable way.
- Every transformed graph is just the parent wearing a small edit.
- Master four moves and you can graph thousands of functions by eye.
平移它、拉伸它、翻转它
- 学会一个"母"函数的形状,你就免费得到一整个家族。
- 滑动它、拉伸它或翻转它,方程会以可预测的方式改变。
- 每一条变换后的图像,都只是母函数戴上了一点小小的修改。
- 掌握四种操作,你就能凭眼睛画出成千上万个函数。
Translations: sliding the graph
- A translation 平移 slides the graph without changing its shape.
- Adding outside, $f(x) + k$, shifts it vertically by $k$ (up if positive).
- Replacing $x$ with $(x - h)$ inside shifts it horizontally by $h$.
- Outside changes act on the output (up/down); inside changes act on the input (left/right).
平移:滑动图像
- 平移(translation)在不改变形状的前提下滑动图像。
- 在外面相加,$f(x) + k$,使它竖直移动 $k$(正数则向上)。
- 把里面的 $x$ 换成 $(x - h)$,使它水平移动 $h$。
- 外面的改变作用于输出(上/下);里面的改变作用于输入(左/右)。
Adding a constant outside the function, $f(x) + 3$, shifts the graph… · 在函数外面加一个常数,$f(x) + 3$,会把图像……
Adding outside changes the output directly, so every point rises by 3 — a vertical shift up. · 在外面相加直接改变输出,所以每个点上升 3——一次向上的竖直平移。
Dilations and reflections
- A dilation 伸缩 stretches or squashes the graph: $a\,f(x)$ with $a > 1$ stretches it taller.
- A reflection 反射 flips it: $-f(x)$ mirrors across the x-axis; $f(-x)$ mirrors across the y-axis.
- A fraction like $0.5\,f(x)$ squashes the graph toward the x-axis.
- These reshape the graph; translations only move it.
伸缩与反射
- 伸缩(dilation)拉伸或压扁图像:$a\,f(x)$ 且 $a > 1$ 使它变得更高。
- 反射(reflection)翻转它:$-f(x)$ 关于 x 轴镜像;$f(-x)$ 关于 y 轴镜像。
- 像 $0.5\,f(x)$ 这样的分数把图像朝 x 轴压扁。
- 这些操作重塑图像;而平移只是移动它。
Stretch, flip, and shift a parabola · 拉伸、翻转、平移一条抛物线
y = a·f(b(x − h)) + k
Start from y = x². Make a negative to flip it, make a large to stretch it, and change c to slide it up or down. · 从 y = x² 出发。把 a 变为负数来翻转它,把 a 变大来拉伸它,改变 c 让它上下滑动。
Multiplying the whole function by $-1$, giving $-f(x)$, produces a ____ across the x-axis. · 把整个函数乘以 $-1$,得到 $-f(x)$,会产生关于 x 轴的一次____。
A negative on the outside flips every output's sign, mirroring the graph across the x-axis. · 外面的一个负号翻转每个输出的符号,使图像关于 x 轴镜像。
The master rule
- Every transformation fits one template: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = vertical stretch/flip, $b$ = horizontal stretch/flip, $h$ = horizontal shift, $k$ = vertical shift.
- Read the constants straight out of the rule to know exactly what happened.
- Outside the $f$ ($a$ and $k$) is vertical; inside ($b$ and $h$) is horizontal.
万能公式
- 每一种变换都符合一个模板:$g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$。
- $a$ = 竖直拉伸/翻转,$b$ = 水平拉伸/翻转,$h$ = 水平平移,$k$ = 竖直平移。
- 直接从式子里读出这些常数,就知道到底发生了什么。
- $f$ 外面的($a$ 和 $k$)是竖直的;里面的($b$ 和 $h$)是水平的。
Replacing $x$ with $(x - 2)$ inside the function shifts the graph… · 把函数里面的 $x$ 换成 $(x - 2)$,会把图像……
Horizontal shifts work backwards: $(x-2)$ moves the graph right · 精准的 by 2, not left. Inside changes feel reversed. · 水平平移是反着来的:$(x-2)$ 把图像向右移 2,而不是向左。里面的改变感觉是相反的。
Select all · 所有 correct statements about transformations. · 选出关于变换的所有正确说法。
A constant inside shifts horizontally, not vertically. The other three are correct. · 在里面加常数是水平平移,不是竖直。其余三条正确。
Match each change to its effect on $y = f(x)$. · 把每个改变与它对 $y = f(x)$ 的影响配对。
Outside = vertical (shift, reflect, stretch); inside = horizontal (and reversed). · 外面 = 竖直(平移、反射、拉伸);里面 = 水平(且相反)。
Effect on domain and range
- Vertical moves (stretch, shift, reflect over x-axis) reshape the range 值域.
- Horizontal moves (shift, stretch, reflect over y-axis) reshape the domain 定义域.
- A vertical shift up by $3$ adds $3$ to every output — the range rises by $3$.
- Key features (vertex, intercepts, asymptotes) move with the graph.
对定义域与值域的影响
- 竖直操作(拉伸、平移、关于 x 轴反射)重塑值域(range)。
- 水平操作(平移、拉伸、关于 y 轴反射)重塑定义域(domain)。
- 向上竖直平移 $3$,给每个输出加 $3$——值域上移 $3$。
- 关键特征(顶点、截距、渐近线)都随图像一起移动。
A vertical stretch or a vertical shift can change the range · 范围 (range) of a function. · 竖直拉伸或竖直平移可以改变函数的值域。
Vertical transformations act on the outputs, so they reshape the range. Horizontal ones act on inputs and affect the domain instead. · 竖直变换作用于输出,所以会重塑值域。水平变换作用于输入,影响的是定义域。
Horizontal transformations feel backwards. Inside the function, $(x - 2)$ shifts the graph right (not left), and $f(2x)$ compresses it (not stretches). Inside changes always do the opposite of what the sign suggests.
水平变换感觉是反着来的。在函数里面,$(x - 2)$ 把图像向右移(不是向左),而 $f(2x)$ 会压缩它(不是拉伸)。里面的改变总是与符号暗示的方向相反。
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ built from the parent $f(x) = x^2$.
- Inside $(x-1)$ → shift right by 1.
- The $-2$ outside → stretch by 2 and reflect across the x-axis (opens downward).
- The $+4$ outside → shift up by 4, putting the vertex at $(1, 4)$.
描述由母函数 $f(x) = x^2$ 构成的 $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$。
- 里面的 $(x-1)$ → 向右移 1。
- 外面的 $-2$ → 拉伸 2 倍并关于 x 轴反射(开口向下)。
- 外面的 $+4$ → 向上移 4,把顶点放在 $(1, 4)$。
Every graph is a parent function transformed by $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: a translation (shift), a dilation (stretch), or a reflection (flip). Outside changes are vertical and reshape the range; inside changes are horizontal, reshape the domain, and run backwards.
每条图像都是一个母函数经 $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$ 变换而来:平移、伸缩或反射。外面的改变是竖直的,重塑值域;里面的改变是水平的,重塑定义域,而且是反着来的。