Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · 定义极坐标及极坐标形式的求导
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | 直角坐标 | zhí jiǎo zuò biāo |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 极坐标 | jí zuò biāo |
Locating points by angle and distance
- Cartesian coordinates use "right $x$, up $y$." Polar coordinates 极坐标 use "angle and distance."
- A point is $(r,\theta)$: $r$ is how far from the origin, $\theta$ is the angle from the positive $x$-axis.
- Circles and spirals that are ugly in $x,y$ become simple in polar form.
- Curves are written $r=f(\theta)$ — radius as a function of angle.
用角度和距离定位点
- 直角坐标用"向右 $x$、向上 $y$"。极坐标用"角度和距离"。
- 一个点是 $(r,\theta)$:$r$ 是离原点多远,$\theta$ 是与正 $x$ 轴的夹角。
- 在 $x,y$ 里丑陋的圆和螺线,在极坐标里变得简单。
- 曲线写作 $r=f(\theta)$——半径作为角度的函数。
Converting polar ⇄ Cartesian
- Polar to Cartesian 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesian to polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- These come straight from right-triangle trig on the point.
- Switch whichever way makes the problem easier.
极坐标 ⇄ 直角坐标 转换
- 极坐标转直角坐标:$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$。
- 直角坐标转极坐标:$r=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$。
- 这些直接来自该点上的直角三角形三角。
- 哪个方向让问题更容易就转哪个。
Sine and cosine build polar · 正弦和余弦构建极坐标
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — polar coordinates are built from these two trig functions of the angle. · $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ —— 极坐标由角度的这两个三角函数构建。
The conversion from polar to Cartesian is... · 从极坐标到笛卡尔坐标的转换是...
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
To convert Cartesian to polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$. · 将直角坐标转换为极坐标时，$r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$。
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
A polar curve is secretly parametric
- Treat $r=f(\theta)$ as a parametric curve with $\theta$ as the parameter:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ and $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Now all the parametric machinery applies — including the slope $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- So "differentiating in polar" just means parametric differentiation with these $x,y$.
极曲线其实是参数曲线
- 把 $r=f(\theta)$ 当作以 $\theta$ 为参数的参数曲线:
- $x=f(\theta)\cos\theta$,$y=f(\theta)\sin\theta$。
- 现在所有参数机器都适用——包括斜率 $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$。
- 所以"在极坐标里求导"就是用这些 $x,y$ 做参数求导。
Convert $(2,\tfrac{\pi}{3})$: find the $x$-coordinate. · 转换 $(2,\tfrac{\pi}{3})$：求 $x$-坐标。
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
A polar curve $r=f(\theta)$ can be treated as a parametric curve with parameter... · 极坐标曲线$r=f(\theta)$可视为以...为参数的参数曲线。
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ with parameter $\theta$. · $x=f(\theta)\cos\theta$、$y=f(\theta)\sin\theta$，参数为$\theta$。
Finding the slope $\tfrac{dy}{dx}$
- Compute $\tfrac{dx}{d\theta}$ and $\tfrac{dy}{d\theta}$ from the product/chain rule on $f(\theta)\cos\theta$ and $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — the ordinary parametric slope.
- Warning: $\tfrac{dy}{dx}$ is not $\tfrac{dr}{d\theta}$; the slope needs the full $x,y$ derivatives.
- The parameter is $\theta$, so differentiate the $x,y$ expressions with respect to $\theta$.
求斜率 $\tfrac{dy}{dx}$
- 对 $f(\theta)\cos\theta$ 和 $f(\theta)\sin\theta$ 用乘积/链式法则算出 $\tfrac{dx}{d\theta}$ 与 $\tfrac{dy}{d\theta}$。
- 然后 $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$——普通的参数斜率。
- 警告: $\tfrac{dy}{dx}$ 不是 $\tfrac{dr}{d\theta}$;斜率需要完整的 $x,y$ 导数。
- 参数是 $\theta$,所以把 $x,y$ 表达式关于 $\theta$ 求导。
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ of a polar curve equals $\tfrac{dr}{d\theta}$. · 极坐标曲线的$\tfrac{dy}{dx}$斜率等于$\tfrac{dr}{d\theta}$。
Slope is $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, using $x,y$ derivatives. · 斜率为$\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$，使用$x,y$导数计算。
The polar coordinates $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ describe the same point. · 极坐标$(r,\theta)$和$(r,\theta+2\pi)$描述同一个点。
Adding a full turn returns to the same point. · 增加一个完整周期会回到同一点。
The slope of a polar curve is $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, not $\dfrac{dr}{d\theta}$. You must convert to $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ first and differentiate those (product rule!) with respect to $\theta$. And a point's polar coordinates aren't unique — $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ are the same point.
极曲线的斜率是 $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$,而非 $\dfrac{dr}{d\theta}$。你必须先转成 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$,再把它们关于 $\theta$ 求导(乘积法则!)。而且一个点的极坐标不唯一——$(r,\theta)$ 和 $(r,\theta+2\pi)$ 是同一个点。
Convert the polar point $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ to Cartesian.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- So the point is $\big(1,\sqrt3\big)$.
把极坐标点 $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ 转成直角坐标。
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$。
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$。
- 所以点是 $\big(1,\sqrt3\big)$。
Polar coordinates $(r,\theta)$ give a point by distance and angle. Convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (and back via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — not $\frac{dr}{d\theta}$.
极坐标 $(r,\theta)$ 用距离和角度给出一个点。用 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 转换(反向用 $r=\sqrt{x^2+y^2}$)。极曲线 $r=f(\theta)$ 是以 $\theta$ 为参数的参数曲线,所以斜率是 $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$——而非 $\frac{dr}{d\theta}$。