Exponential Models with Differential Equations · 微分方程中的指数模型
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 指数增长 | zhǐ shù zēng zhǎng |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | 指数模型 | zhǐ shù mó xíng |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
The equation behind exponential growth
- One differential equation appears everywhere: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "rate proportional to amount."
- Its solution is the famous exponential model 指数模型 $y=y_0 e^{kt}$.
- Population, radioactive decay, compound interest, cooling — all obey this pattern.
- Solve it once and you own a huge family of real-world models.
指数增长背后的方程
- 有一个微分方程无处不在:$\dfrac{dy}{dt}=ky$——"速率正比于量"。
- 它的解是著名的指数模型 $y=y_0 e^{kt}$。
- 人口、放射性衰变、复利、冷却——都遵守这个模式。
- 解它一次,你就掌握了一大族现实模型。
Deriving $y=y_0 e^{kt}$
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Integrate: $\ln|y|=kt+C$.
- Exponentiate: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Apply the initial amount $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Solution: $y=y_0 e^{kt}$ — the initial value times $e^{kt}$.
推导 $y=y_0 e^{kt}$
- 分离:$\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$。积分:$\ln|y|=kt+C$。
- 取指数:$y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$。
- 应用初始量 $y(0)=y_0$:$A=y_0$。
- 解: $y=y_0 e^{kt}$——初值乘以 $e^{kt}$。
The solution of $\dfrac{dy}{dt}=ky$ with $y(0)=y_0$ is... · $\dfrac{dy}{dt}=ky$与$y(0)=y_0$的解是...
Separate and integrate: $y=y_0 e^{kt}$. · 分离并积分：$y=y_0 e^{kt}$ 。
Growth when $k>0$
- If $k>0$, then $e^{kt}$ increases, so $y$ shows exponential growth 指数增长.
- The quantity keeps multiplying — the bigger it gets, the faster it grows.
- $k$ is the (continuous) growth rate; a larger $k$ means faster growth.
- Examples: unchecked populations, compound interest.
当 $k>0$ 时的增长
- 若 $k>0$,则 $e^{kt}$ 增大,所以 $y$ 呈指数增长。
- 量不断翻倍——越大增长越快。
- $k$ 是(连续)增长率;$k$ 越大增长越快。
- 例子:不受抑制的人口、复利。
Growth (k>0) vs decay (k<0) · 增长 (k>0) 与衰减 (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ rises when $k>0$ and falls toward zero when $k<0$ — the sign of $k$ sets the behaviour. · $y=y_0 e^{kt}$ 随 $k>0$ 上升，并随 $k<0$ 趋近于零下降——$k$ 的符号决定了其行为。
In $y=y_0 e^{kt}$, exponential growth occurs when... · 在 $y=y_0 e^{kt}$ 中，当...时发生指数增长。
$k>0$ makes $e^{kt}$ increase → growth. · $k>0$ 使 $e^{kt}$ 增加 → 增长。
For · 支持 $P=500e^{0.3t}$, find $P(0)$ (the initial amount). · 对于 $P=500e^{0.3t}$ ，求 $P(0)$ （初始量）。
$P(0)=500 e^0=500$.
Decay when $k<0$
- If $k<0$, then $e^{kt}$ decreases, so $y$ shows exponential decay 指数衰减.
- The quantity shrinks toward $0$ but never quite reaches it.
- Radioactive decay and cooling differences follow $k<0$.
- The magnitude $|k|$ sets how fast the decay happens (linked to half-life).
当 $k<0$ 时的衰减
- 若 $k<0$,则 $e^{kt}$ 减小,所以 $y$ 呈指数衰减。
- 量向 $0$ 缩减,但永远达不到。
- 放射性衰变和温差冷却遵循 $k<0$。
- 大小 $|k|$ 决定衰减多快(与半衰期相关)。
Exponential decay occurs when $k$ is ____ (its sign). · 当 $k$ 为 ____ （其符号）时发生指数衰减。
$k<0$ makes $e^{kt}$ shrink toward $0$. · $k<0$ 使 $e^{kt}$ 收缩至 $0$ 。
The model $y=y_0 e^{kt}$ applies to a situation with a constant rate $\dfrac{dy}{dt}=c$. · 模型 $y=y_0 e^{kt}$ 适用于具有恒定比率 $\dfrac{dy}{dt}=c$ 的情况。
Constant rate gives a line; the exponential model needs rate ∝ amount. · 恒定比率产生直线；指数模型需要比率 ∝ 数量。
Which situations are modeled by $\dfrac{dy}{dt}=ky$? · 哪些情况由 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 建模？
The first three have rate proportional to the amount; the constant-rate tap does not. · 前三个是比率与数量成正比；恒定速率的水龙头则不是。
The exponential model comes only from $\frac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to the amount). Don't apply $y=y_0 e^{kt}$ to a constant-rate situation ($\frac{dy}{dt}=c$, which gives a line). And the sign of $k$ is everything: $k>0$ grows, $k<0$ decays — a wrong sign flips the whole behavior.
指数模型只来自 $\frac{dy}{dt}=ky$(速率正比于量)。别把 $y=y_0 e^{kt}$ 用到恒定速率的情形($\frac{dy}{dt}=c$,它给出一条直线)。而且 $k$ 的符号至关重要:$k>0$ 增长,$k<0$ 衰减——符号错了整个行为就反了。
A colony of $500$ bacteria grows so that $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ in hours). Find $P(t)$ and $P(4)$.
- Model: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- At $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ bacteria.
- Since $k=0.3>0$, this is exponential growth.
$500$ 个细菌的菌落增长使 $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$($t$ 以小时计)。求 $P(t)$ 与 $P(4)$。
- 模型:$P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$。
- 在 $t=4$:$P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ 个细菌。
- 因为 $k=0.3>0$,这是指数增长。
The differential equation $\frac{dy}{dt}=ky$ gives the exponential model $y=y_0 e^{kt}$, where $y_0$ is the initial amount. $k>0$ → exponential growth; $k<0$ → exponential decay. It applies only when the rate is proportional to the current amount.
微分方程 $\frac{dy}{dt}=ky$ 给出指数模型 $y=y_0 e^{kt}$,其中 $y_0$ 是初始量。$k>0$ → 指数增长;$k<0$ → 指数衰减。它只在速率正比于当前量时适用。