The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · 微积分基本定理与定积分
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原函数 | yuán hán shù |
Compute an area without adding rectangles
- Riemann sums give the idea of a definite integral, but summing infinitely many rectangles is impractical.
- The second part of the Fundamental Theorem of Calculus gives a shortcut.
- Find an antiderivative 原函数 $F$ (a function whose derivative is $f$), then subtract its values at the limits.
- Integration becomes "undo the derivative, then plug in two numbers."
不加矩形也能算面积
- 黎曼和给出定积分的想法,但加无穷多个矩形不切实际。
- 微积分基本定理的第二部分给出一个捷径。
- 找一个原函数 $F$(其导数为 $f$),再在积分限处相减它的值。
- 积分变成"撤销导数,再代入两个数"。
A function $F$ with $F'=f$ is called an ____ of $f$. · 若函数 $F$ 满足 $F'=f$，则称其为 $f$ 的 ____。
FTC Part 2 evaluates an antiderivative at the limits. · FTC 第2部分在极限处评估原函数。
The evaluation theorem
- If $F'=f$ (so $F$ is an antiderivative of $f$), then:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Compute $F$, evaluate it at the top limit and the bottom limit, and subtract.
- The exact signed area drops out — no rectangles, no limits of sums.
求值定理
- 若 $F'=f$(即 $F$ 是 $f$ 的原函数),则:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- 算出 $F$,在上限和下限处求值,再相减。
- 精确的带符号面积就出来了——没有矩形,没有求和的极限。
The exact area, computed · 精确面积，经计算
y = x²
FTC Part 2 turns this shaded area into $F(2)-F(0)$ — an antiderivative evaluated at the limits. · 微积分基本定理第 2 部分将此阴影区域转化为 $F(2)-F(0)$ ——在上下限处求值的原函数。
FTC Part 2 says $\int_a^b f\,dx=$ · FTC 第 2 部分表示 $\int_a^b f\,dx=$
Evaluate an antiderivative at upper minus lower limit. · 在上限和下限处求原函数之差。
The evaluation bar notation
- A tidy way to show the two-step evaluation: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Write the antiderivative in brackets with the limits, then subtract "top minus bottom."
- Keep the order: upper limit value minus lower limit value.
- Reversing it flips the sign (matching the swap-limits property).
求值竖线记号
- 展示这两步求值的整洁写法:$\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$。
- 把原函数写在方括号里带上积分限,再"上减下"相减。
- 保持顺序:上限值减下限值。
- 反过来会翻转符号(与交换积分限的性质一致)。
Evaluate · 评价 $\int_0^2 x^2\,dx$ using $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Enter a decimal.) · 计算 $\int_0^2 x^2\,dx$ 使用 $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$。（输入小数。）
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Computing $F(a)-F(b)$ instead of $F(b)-F(a)$ gives the correct value. · 计算 $F(a)-F(b)$ 而非 $F(b)-F(a)$ 会得到正确结果。
That flips the sign — use upper minus lower. · 这会翻转符号——请使用上限减下限。
Evaluate · 评价 $\int_1^3 2x\,dx$ using $F(x)=x^2$. · 评估 $\int_1^3 2x\,dx$ 使用 $F(x)=x^2$.
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Any antiderivative works
- If $F$ is one antiderivative, so is $F+C$ for any constant — but the $+C$ cancels in $F(b)-F(a)$.
- So for a definite integral you can pick the simplest antiderivative and ignore $+C$.
- (The constant only matters for indefinite integrals, lesson 6.8.)
- Double-check by differentiating your $F$: you should get $f$ back.
任何原函数都行
- 若 $F$ 是一个原函数,那么对任意常数 $F+C$ 也是——但 $+C$ 在 $F(b)-F(a)$ 中抵消。
- 所以对定积分,你可以选最简单的原函数,忽略 $+C$。
- (常数只对不定积分重要,6.8 课。)
- 通过对你的 $F$ 求导来复核:你应该得回 $f$。
For a definite integral, the constant $+C$ of the antiderivative... · 对于定积分，原函数的常数 $+C$...
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
You must use a genuine antiderivative ($F'=f$), then compute $F(b)-F(a)$ in that order. Swapping to $F(a)-F(b)$ flips the sign. The $+C$ cancels in a definite integral, so don't fret over it here — but do verify $F'=f$, or the whole answer is wrong.
你必须用一个真正的原函数($F'=f$),再按顺序算 $F(b)-F(a)$。换成 $F(a)-F(b)$ 会翻转符号。$+C$ 在定积分中抵消,所以这里不必操心它——但一定要验证 $F'=f$,否则整个答案就错了。
Evaluate $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- An antiderivative of $x^2$ is $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (since $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- That confirms the earlier Riemann-sum estimate of $\approx2.67$.
求 $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$。
- $x^2$ 的一个原函数是 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$(因为 $F'=x^2$)。
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$。
- 这印证了之前黎曼和 $\approx2.67$ 的估计。
FTC Part 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, where $F$ is any antiderivative of $f$ ($F'=f$). Find $F$, evaluate at the upper minus the lower limit. The $+C$ cancels, so any antiderivative works — this turns area into simple arithmetic.
FTC 第二部分:$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$,其中 $F$ 是 $f$ 的任意原函数($F'=f$)。找 $F$,在上限减下限处求值。$+C$ 抵消,所以任何原函数都行——这把面积变成简单算术。