Using the First Derivative Test to Determine Relative (Local) Extrema · 使用一阶导数判别法确定相对（局部）极值
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | 一阶导数判别法 | yī jiē dǎo shù pàn bié fǎ |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | 局部最大值 | jú bù zuì dà zhí |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | 局部最小值 | jú bù zuì xiǎo zhí |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
用 $f'$ 如何转向来判定临界点
- 临界点是一个候选极值——现在我们判定它是哪一种。
- 一阶导数检验读取 $f'$ 越过该点时的变号。
- 先上坡后下坡形成峰;先下坡后上坡形成谷。
- 它复用你上一课的符号表——无需新计算。
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
正 → 负意味着最大值
- 若在临界点 $c$ 处 $f'$ 从正变负,则 $f$ 在那里有局部最大值。
- 函数先攀升,趋平,再下落——山顶。
- 直接从符号表读出:$c$ 左边一个 $+$,右边一个 $-$。
- 最大值是 $f(c)$;位置是 $x=c$。
A max then a min · 先极大后极小
y = ax³ + cx
The left hump is a local max ($f'$ goes $+$ to · 到 $-$) and the right dip a local min ($-$ to · 到 $+$). · 左边的波峰是局部极大（$f'$ 从 $+$ 变到 $-$），右边的波谷是局部极小（从 $-$ 变到 $+$）。
If $f'$ changes from positive to negative at $c$, then $f$ has a... · 如果 $f'$ 在 $c$ 处由正变负，则 $f$ 有一个...
Up then down = the top of a hill = local max. · 先升后降 = 山顶 = 局部极大。
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
负 → 正意味着最小值
- 若在 $c$ 处 $f'$ 从负变正,则 $f$ 在那里有局部最小值。
- 先下落,趋平,再攀升——谷底。
- 符号表:$c$ 左边一个 $-$,右边一个 $+$。
- 若 $f'$ 在 $c$ 处不变号,那里就没有极值(一个平坦处)。
If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a local ____ there. · 如果 $f'$ 在 $c$ 处由负变正，则 $f$ 在该处有一个局部 ____。
Down then up = bottom of a valley = local min. · 先降后升 = 谷底 = 局部极小。
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
套路
- 找临界点,建 $f'$ 的符号表,读每个越界处。
- $+\to-$:局部最大。$-\to+$:局部最小。不变号:都不是。
- 即使 $f'$ 在某处无定义(尖角),只要符号翻转也有效。
- 这是 AP 判定极值最常用的工具。
If $f'$ has the same sign on both sides of a critical point, there is no extremum there. · 如果 $f'$ 在临界点两侧符号相同，则该处无极值。
No sign change (like $y=x^3$ at $0$) means no max or min. · 无符号变化（如 $y=x^3$ 在 $0$ 处）意味着无极大或极小。
For · 支持 $f(x)=x^3-3x$, the critical point $x=1$ is a... · 对于 $f(x)=x^3-3x$，临界点 $x=1$ 是...
$f'$ goes $-\to+$ at $x=1$ → local min. · $f'$ 趋向于 $-\to+$ 在 $x=1$ → 局部最小值。
For · 支持 $f(x)=x^3-3x$, the local max is at $x=-1$. Find the max value $f(-1)$. · 对于 $f(x)=x^3-3x$，局部最大值位于 $x=-1$。求最大值为 $f(-1)$。
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
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It is the change of sign that matters, not the value at $c$. · 重要的是符号的变化，而非 $c$ 的值。
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
重要的是符号的变化,而非 $f'$ 在 $c$ 处的值(那里是 $0$ 或无定义)。若 $f'$ 在两侧保持同一符号——如 $y=x^3$ 在 $0$(两侧都为正)——那里就没有极值,尽管它是一个临界点。
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
判定 $f(x)=x^3-3x$ 的临界点($f'=3(x-1)(x+1)$)。
- 在 $x=-1$:$f'$ 从 $+\to-$(测 $-2$ 得 $+$,测 $0$ 得 $-$)→ 局部最大。
- 在 $x=1$:$f'$ 从 $-\to+$(测 $0$ 得 $-$,测 $2$ 得 $+$)→ 局部最小。
- 值:局部最大 $f(-1)=2$,局部最小 $f(1)=-2$。
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.
一阶导数检验通过 $f'$ 的变号来判定临界点:$+\to-$ 是局部最大值,$-\to+$ 是局部最小值,不变号则无极值。只需从 $f'$ 符号表读出各越界处。