Extreme Value Theorem, Global Versus Local Extrema, and Critical Points · 极值定理、全局与局部极值及临界点
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | 局部极值 | jú bù jí zhí |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | 全局极值 | quán jú jí zhí |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | 临界点 | lín jiè diǎn |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | 极值定理 | jí zhí dìng lǐ |
Peaks, valleys, and where to look for them
- A smooth graph has high points and low points — the derivative is the tool for finding them.
- First, some vocabulary: a local (relative) extremum 局部极值 is a peak or valley compared to nearby points.
- A global (absolute) extremum 全局极值 is the single highest or lowest over the whole interval.
- The candidates for both are special inputs called critical points 临界点.
山峰、山谷,以及去哪里找它们
- 光滑图像有高点和低点——导数是找到它们的工具。
- 先讲些术语:局部极值是与邻近点相比的一个峰或谷。
- 全局极值是整个区间上唯一的最高或最低点。
- 两者的候选都是一些特殊输入,叫临界点。
A "local (relative) maximum" is a point that is highest compared to... · "局部（相对）最大值"是指相对于...而言最高的点
Local = compared to nearby points; global = over the whole interval. · 局部 = 与邻近点比较；全局 = 在整个区间上。
The Extreme Value Theorem
- The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extrema exist — under a condition.
- If $f$ is continuous on a closed interval $[a,b]$, then $f$ attains an absolute max and an absolute min on $[a,b]$.
- Continuity + closed interval is the entry ticket; drop either and a max or min may not exist.
- The EVT tells you they exist; the derivative helps you find them.
极值定理
- 极值定理(EVT)保证极值存在——在一个条件下。
- 若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,则 $f$ 在 $[a,b]$ 上取得绝对最大值和绝对最小值。
- 连续 + 闭区间是入场券;缺任一个,最大或最小值都可能不存在。
- EVT 告诉你它们存在;导数帮你找到它们。
The EVT guarantees a max and min when $f$ is continuous on a ____ interval. · EVT 保证当 $f$ 在 ____ 区间上连续时存在最大值和最小值。
Continuity plus a closed interval is required. · 连续性加上闭区间是必需的。
Critical points: where extrema can hide
- A critical point is an interior $x$ where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist.
- $f'=0$: a horizontal tangent (a smooth peak or valley). $f'$ undefined: a corner or cusp.
- Local extrema can occur only at critical points — nowhere else inside the interval.
- So to hunt extrema, first solve $f'(x)=0$ and note where $f'$ is undefined.
临界点:极值可能藏身之处
- 临界点是一个内部 $x$,那里 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在。
- $f'=0$:水平切线(光滑的峰或谷)。$f'$ 无定义:尖角或尖点。
- 局部极值只能出现在临界点——区间内部别处都不行。
- 所以要找极值,先解 $f'(x)=0$,并记下 $f'$ 无定义之处。
Where the slope is zero · 斜率为零之处
y = ax³ + cx
At a local peak or valley the tangent is horizontal ($f'=0$) — those inputs are the critical points. · 在局部峰顶或谷底，切线是水平的（$f'=0$）——这些输入即为临界点。
A critical point is an interior $x$ where... · 临界点是某个内部 $x$，其中...
Critical points: $f'=0$ or · 或 $f'$ undefined. · 临界点：$f'=0$ 或未定义 $f'$。
Local vs. global — don't confuse them
- A local max is taller than its immediate neighbors; a global max is the tallest anywhere on $[a,b]$.
- A global extremum on a closed interval sits at either a critical point or an endpoint.
- Not every critical point is an extremum (a horizontal tangent can be a flat spot on a rising curve).
- Local and global are different questions — a point can be one without being the other.
局部 vs 全局——别搞混
- 局部最大值比它紧邻的点更高;全局最大值是 $[a,b]$ 上任何地方最高的。
- 闭区间上的全局极值,要么在临界点,要么在端点。
- 并非每个临界点都是极值(水平切线可以是上升曲线上的一个平坦处)。
- 局部与全局是不同的问题——一个点可以是其中之一而不是另一个。
Find all · 所有 critical points of $f(x)=x^3-3x$. · 找出 $f(x)=x^3-3x$ 的 所有 临界点。
$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=\pm1$. · $f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ 在 $x=\pm1$。
Every point where $f'(x)=0$ is a local maximum or minimum. · $f'(x)=0$ 为局部最大值或最小值的每一点。
$y=x^3$ at $0$ has $f'=0$ but no extremum — a critical point is only a candidate. · $y=x^3$ 在 $0$ 处有 $f'=0$ 但没有极值 —— 临界点只是一个候选项。
On a closed interval, an absolute extremum must occur at a critical point or an... · 在闭区间上，绝对极值必然出现在临界点或...
Check critical points and the two endpoints. · 检查临界点 以及 两个端点。
$f'(c)=0$ does not guarantee an extremum at $c$. The curve $y=x^3$ has $f'(0)=0$, but $x=0$ is neither a max nor a min — just a flat inflection. A critical point is only a candidate; you must test it (lessons 5.4, 5.7). And the EVT needs both continuity and a closed interval.
$f'(c)=0$ 并不保证 $c$ 处有极值。曲线 $y=x^3$ 有 $f'(0)=0$,但 $x=0$ 既非最大也非最小——只是一个平坦的拐点。临界点只是候选;你必须检验它(5.4、5.7 课)。而且 EVT 需要连续和闭区间两者。
Find the critical points of $f(x)=x^3-3x$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- Set $f'(x)=0$: $x=1$ and $x=-1$ — both give a horizontal tangent.
- $f'$ is defined everywhere (a polynomial), so these two are the only critical points.
求 $f(x)=x^3-3x$ 的临界点。
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$。
- 令 $f'(x)=0$:$x=1$ 与 $x=-1$——两处都是水平切线。
- $f'$ 处处有定义(多项式),所以这两个就是仅有的临界点。
The Extreme Value Theorem: a function continuous on a closed interval attains an absolute max and min. Those, and all local extrema, occur only at critical points ($f'=0$ or undefined) or interval endpoints. A critical point is a candidate, not a guarantee — always test it.
极值定理:在闭区间上连续的函数取得绝对最大值和最小值。这些以及所有局部极值,只出现在临界点($f'=0$ 或无定义)或区间端点。临界点是候选,不是保证——永远要检验它。