Linear combinations of random variables · 随机变量的线性组合
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | 方差 | fāng chà |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | 线性组合 | xiàn xìng zǔ hé |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 随机变量 | suí jī biàn liàng |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 线性变换 | xiàn xìng biàn huàn |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | 独立 | dú lì |
The mathematics of combining
- If you know the mean and variance 方差 of two separate processes, what happens when you add them together?
- Linear combinations 线性组合 let you predict the behaviour of combined random variables 随机变量 — essential for quality control, finance, and engineering.
组合的数学
- 如果你知道两个分开的过程的平均数和方差,当你把它们加在一起时会发生什么?
- 线性组合(linear combinations)让你预测组合的随机变量的行为——对质量控制、金融和工程必不可少。
Linear combination lab · 线性组合实验
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · 改变缩放因子并观察期望值如何缩放。
Linear transformations 线性变换 of a single variable
- For a single variable changed by a linear rule:
Worked example. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Let $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
The constant $b$ vanishes from variance. Adding a constant shifts the mean but doesn't change the spread. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, not $\text{Var}(X) + 25$.
The Poisson distribution Po(3); its mean and variance both equal lambda
单个变量的线性变换
- 对一个被一个线性规则改变的单个变量:
算例。 $E(X) = 5$,$\text{Var}(X) = 4$。设 $Y = 3X + 2$。 $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$。$\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$。
常数 $b$ 从方差中消失。 加一个常数移动平均数但不改变散布。$\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$,不是 $\text{Var}(X) + 25$。
泊松分布 Po(3);它的平均数和方差都等于 lambda
X has mean 5. What is E(3X − 1)? · X 的均值为 5。求 E(3X − 1)？
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X has variance 4. What is Var(3X − 1)? · X 的方差为 4。求 Var(3X − 1)？
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (the −1 has no effect). · Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36（−1 没有影响）。
In Var(aX + b), the constant b: · 在 Var(aX + b) 中，常数 b：
Adding a constant shifts the data but does not change its spread, so b drops out. · 加上常数会移动数据但不改变其离散程度，因此 b 被抵消。
Two independent 独立 variables
- Note: variances always add (even for $X - Y$), because $(-1)^2 = 1$.
两个独立的变量
- 注意:方差总是相加(即使对 $X - Y$),因为 $(-1)^2 = 1$。
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ? · X 和 Y 相互独立。Var(X) = 4，Var(Y) = 9。Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (variances add for independent variables). · Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13（独立变量的方差相加）。
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ? · X 和 Y 相互独立。Var(X) = 4，Var(Y) = 9。Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Variances always add. · Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13。方差总是相加。
Distributions under linear combinations
- If $X$ is normal, so is $aX + b$; the sum of independent normals is normal.
- The sum of independent Poissons is Poisson: if $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ and $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, then $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
线性组合下的分布
- 如果 $X$ 是正态的,$aX + b$ 也是;独立正态变量的和是正态的。
- 独立泊松变量的和是泊松的:如果 $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ 而 $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$,那么 $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$。
If X ~ Po(3) and Y ~ Po(5) are independent, then X + Y ~ Po(8). · 如果 X ~ Po(3) 且 Y ~ Po(5) 相互独立，则 X + Y ~ Po(8)。
The sum of independent Poisson variables is Poisson with parameter λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8. · 独立泊松变量之和仍为泊松分布，参数 λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8。
Worked example — combining normals
- $X \sim N(10, 4)$ and $Y \sim N(20, 9)$, independent. Find the distribution of $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- So $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Linear combinations of normal distributions are normal; sums of independent Poisson distributions are Poisson.
算例——组合正态变量
- $X \sim N(10, 4)$ 和 $Y \sim N(20, 9)$,独立。求 $X + Y$ 的分布。
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$。$\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$。
- 所以 $X + Y \sim N(30, 13)$。
- 正态分布(normal distributions)的线性组合仍是正态;独立泊松分布(Poisson distributions)之和仍是泊松。
You've got it
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (the $b$ drops, $a$ is squared)
- independent: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- normal stays normal under a linear rule; sums of independent Poissons are Poisson
你掌握了
- $E(aX+b) = aE(X) + b$;$\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$($b$ 消失,$a$ 被平方)
- 独立:$\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- 正态在一个线性规则下保持正态;独立泊松变量的和是泊松的