Trigonometry (Pure 2) · 三角学(Pure 2)
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | 辅助角公式 | fǔ zhù jiǎo gōng shì |
| reciprocal functions/rɪˈsɪprəkl ˈfʌŋkʃnz/ | 倒数函数 | dào shǔ hán shù |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 二倍角 | èr bèi jiǎo |
The hidden patterns in waves
- Radio signals, sound waves, and alternating current all combine sine and cosine terms.
- The R-formula 辅助角公式 lets you merge $a\sin\theta + b\cos\theta$ into a single sine wave — essential for finding maximum amplitude.
波中隐藏的模式
- 无线电信号、声波和交流电都把正弦和余弦项组合在一起。
- R 公式(R-formula)让你把 $a\sin\theta + b\cos\theta$ 合并成一个单一的正弦波——对找最大振幅必不可少。
Reciprocal functions 倒数函数
- Three reciprocal functions: $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
- These appear in calculus and when solving trig equations.
The graph of sec θ = 1/cos θ has asymptotes wherever cos θ = 0
The reciprocal functions: $\sec$, $\csc$, and $\cot$ are simply $\dfrac{1}{\cos}$, $\dfrac{1}{\sin}$, and $\dfrac{1}{\tan}$.
Worked example. If $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$, then $\sec\theta = \dfrac{5}{3}$.
倒数函数
- 三个倒数函数:$\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$、$\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$、$\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$。
- 这些出现在微积分中和求解三角方程时。
sec θ = 1/cos θ 的图在每个 cos θ = 0 处有渐近线
倒数函数:$\sec$、$\csc$ 和 $\cot$ 就是 $\dfrac{1}{\cos}$、$\dfrac{1}{\sin}$ 和 $\dfrac{1}{\tan}$。
算例。 如果 $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$,那么 $\sec\theta = \dfrac{5}{3}$。
The unit circle · 单位圆
(cos θ, sin θ)
Every trig identity comes from this circle — watch how sin θ and cos θ relate as θ turns. · 每个三角恒等式都来自这个圆——观察当 θ 转动时 sin θ 和 cos θ 如何关联。
The secant function sec θ is equal to: · 正割函数 sec θ 等于:
sec θ = 1/cos θ; csc θ = 1/sin θ; cot θ = 1/tan θ. · sec θ = 1/cos θ;csc θ = 1/sin θ;cot θ = 1/tan θ。
Pythagorean identities for reciprocals
- Identities to know:
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$,
- $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
Don't confuse these. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (not $\sec^2\theta = 1 - \tan^2\theta$). The sign is plus, derived from dividing $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ by $\cos^2\theta$.
倒数的毕达哥拉斯恒等式
- 要知道的恒等式:
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$,
- $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$。
不要混淆这些。 $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$(不是 $\sec^2\theta = 1 - \tan^2\theta$)。符号是加,由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ 除以 $\cos^2\theta$ 推导出来。
The identity sec²θ ≡ 1 + tan²θ. If tan θ = 2, what is sec²θ? · 恒等式 sec²θ ≡ 1 + tan²θ。如果 tan θ = 2,sec²θ 是多少?
sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + 2² = 1 + 4 = 5. · sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + 2² = 1 + 4 = 5。
sec²θ ≡ 1 − tan²θ. · sec²θ ≡ 1 − tan²θ。
The correct identity is sec²θ ≡ 1 + tan²θ (plus, not minus). · 正确的恒等式是 sec²θ ≡ 1 + tan²θ(加,不是减)。
Double angle 二倍角 formulae
- Double angle: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$, $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$.
- These are essential for integrating powers of sin and cos.
倍角公式
- 倍角(double angle):$\sin 2A = 2\sin A\cos A$,$\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$。
- 这些对积分 sin 和 cos 的幂必不可少。
Using the double angle formula, sin 60° = 2 sin 30° cos 30°. Evaluate (2 dp). · 用倍角公式,sin 60° = 2 sin 30° cos 30°。求值(2 位小数)。
2 × 0.5 × (√3/2) = √3/2 ≈ 0.87. · 2 × 0.5 × (√3/2) = √3/2 ≈ 0.87。
The R-formula
- The R-formula: $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, with $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ and $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
- This converts a sum of sin and cos into a single wave — making it easy to find the maximum value ($R$) and where it occurs.
- Use the reciprocal functions secant, cosecant and cotangent.
R 公式
- R 公式:$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$,其中 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ 而 $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$。
- 这把 sin 和 cos 的一个和转换成一个单一的波——使找最大值($R$)和它出现的位置变得容易。
- 使用倒数函数正割(secant)、余割(cosecant)和余切(cotangent)。
For 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), what is R? · 对于 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α),R 是多少?
R = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √25 = 5. · R = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √25 = 5。
The maximum value of 5 sin θ + 12 cos θ is: · 5 sin θ + 12 cos θ 的最大值是:
R = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Maximum value = R. · R = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。最大值 = R。
You've got it
- reciprocals: sec $=1/\cos$, csc $=1/\sin$, cot $=1/\tan$
- identities: $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$
- R-formula: $R = \sqrt{a^2 + b^2}$; double angle: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$
你掌握了
- 倒数:sec $=1/\cos$,csc $=1/\sin$,cot $=1/\tan$
- 恒等式:$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$,$\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$
- R 公式:$R = \sqrt{a^2 + b^2}$;倍角:$\sin 2A = 2\sin A\cos A$