Trigonometry · 三角学
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | 三角的 | sān jiǎo de |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | 渐近线 | jiàn jìn xiàn |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | 恒等式 | héng děng shì |
The mathematics of cycles
- Tides, sound waves, alternating current, planetary orbits — all described by trigonometric 三角的 functions.
- The sine and cosine waves are the building blocks of periodic motion. Master them and you can model anything that repeats.
周期的数学
- 潮汐、声波、交流电、行星轨道——全都用三角函数描述。
- 正弦和余弦波是周期运动的构建块。掌握它们,你就能为任何重复的东西建模。
Graphs of sin, cos and tan
- $\sin$ and $\cos$ wave between $-1$ and $1$ and repeat every $360^\circ$ (or $2\pi$ radians).
- $\tan$ repeats every $180^\circ$ (or $\pi$ radians) and has vertical asymptotes 渐近线 at $90^\circ$ and $270^\circ$.
The unit circle: $\cos\theta$ is the $x$-coordinate, $\sin\theta$ is the $y$-coordinate. Since $x^2 + y^2 = 1$, we get $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
sin、cos 和 tan 的图
- $\sin$ 和 $\cos$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间波动,每 $360^\circ$(或 $2\pi$ 弧度)重复。
- $\tan$ 每 $180^\circ$(或 $\pi$ 弧度)重复,并在 $90^\circ$ 和 $270^\circ$ 有垂直渐近线。
单位圆:$\cos\theta$ 是 $x$ 坐标,$\sin\theta$ 是 $y$ 坐标。因为 $x^2 + y^2 = 1$,我们得到 $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$。
The unit circle · 单位圆
(cos θ, sin θ)
Spin the angle θ around the circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ. · 让角 θ 绕圆旋转:水平的边是 cos θ,垂直的边是 sin θ。
Exact values
- Learn these without a calculator:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | undefined |
Memory trick. The sine values follow the pattern $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ for $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. Cosine is the reverse.
A Ferris wheel: a point on the rim moves up and down like a sine curve
精确值
- 不用计算器学会这些:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | undefined |
记忆技巧。 正弦值遵循模式 $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$,对应 $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$。余弦是反过来的。
一个摩天轮:轮缘上的一个点像一条正弦曲线那样上下移动
Sine & cosine graphs · 正弦与余弦图象
Drag the amplitude, period and shifts of y = a·sin(bx + c) + d and watch the curve change against the base wave. · 拖动 y = a·sin(bx + c) + d 的振幅、周期和平移,看曲线相对基本波形如何变化。
What is the exact value of sin 30°? · sin 30° 的精确值是多少?
sin 30° = 1/2 = 0.5. · sin 30° = 1/2 = 0.5。
What is the value of tan 45°? · tan 45° 的值是多少?
tan 45° = 1. · tan 45° = 1。
What is the exact value of cos 60°? · cos 60° 的精确值是多少?
cos 60° = 1/2 = 0.5. · cos 60° = 1/2 = 0.5。
Key identities 恒等式
- The two fundamental identities: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ and $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$.
- These let you convert between functions and simplify expressions.
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$, not $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$. The identity is about the sum of the squares, not the square of the sum. This is a common exam mistake.
sin and cos wave between -1 and 1; tan breaks at 90 and 270 degrees
关键恒等式
- 两个基本的恒等式(identities):$\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 和 $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$。
- 这些让你在函数之间转换并简化表达式。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$,不是 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$。 这个恒等式是关于平方的和,不是和的平方。这是一个常见的考试错误。
sin 和 cos 在 -1 和 1 之间波动;tan 在 90 和 270 度处断开
For any angle θ, what does sin²θ + cos²θ equal? · 对任何角 θ,sin²θ + cos²θ 等于多少?
This is the identity sin²θ + cos²θ ≡ 1. · 这是恒等式 sin²θ + cos²θ ≡ 1。
Which identity is correct? · 哪个恒等式是正确的?
tan θ ≡ sin θ / cos θ; and sin²θ + cos²θ ≡ 1. · tan θ ≡ sin θ / cos θ;而 sin²θ + cos²θ ≡ 1。
Solving trig equations
- To solve a trig equation: reduce it to one function (often a quadratic in $\sin$ or $\cos$), then find every solution in the given interval.
- Use the graph's symmetry: if $\sin\theta = k$ has solution $\theta = \alpha$, then $\theta = 180^\circ - \alpha$ is also a solution.
- Solve trigonometrical equations; use the inverse functions $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (inverse trigonometric relations), which give principal values.
求解三角方程
- 要求解一个三角方程:把它化简到一个函数(常常是 $\sin$ 或 $\cos$ 的一个二次式),然后在给定的区间内找到每一个解。
- 用图的对称性:如果 $\sin\theta = k$ 有解 $\theta = \alpha$,那么 $\theta = 180^\circ - \alpha$ 也是一个解。
- 解三角方程(trigonometrical equations);使用反函数(inverse functions)$\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$(反三角关系,inverse trigonometric relations),它们给出主值(principal values)。
If sin θ = 0.5 and 0° ≤ θ ≤ 360°, then θ = 30° is the only solution. · 如果 sin θ = 0.5 且 0° ≤ θ ≤ 360°,那么 θ = 30° 是唯一的解。
sin θ = 0.5 also has solution θ = 180° − 30° = 150° in the given range. · 在给定的范围内,sin θ = 0.5 还有解 θ = 180° − 30° = 150°。
You've got it
- $\sin, \cos$ stay in $[-1, 1]$, repeat every $360^\circ$; know the $30/45/60$ exact values
- identities: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- solve by reducing to one trig function, then finding all solutions in the interval
你掌握了
- $\sin, \cos$ 停留在 $[-1, 1]$,每 $360^\circ$ 重复;知道 $30/45/60$ 的精确值
- 恒等式:$\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$,$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- 通过化简到一个三角函数求解,然后在区间内找到所有解