Tiêu chuẩn ổn định Routh
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Routh array | mảng Routh |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | phương trình phụ |
| marginal stability | độ ổn định biên |
The Routh array counts RHP roots
- Write the coefficients in two rows, fill downwards with cross-multiply-and- divide entries; the number of sign changes in the first column equals the number of right-half-plane roots. No solving at all.
- The Routh array 劳斯阵列 turns stability into bookkeeping: $1, 2, 1, -6, 5$ has two sign changes, so two RHP roots.
$s^{4}+2s^{3}+3s^{2}+4s+5$: the first column reads $1, 2, 1, -6, 5$, two sign changes. Exact roots: $-1.29\pm j0.86$ and $+0.29\pm j1.42$. The array counted them without solving the quartic.
{exercise:uni-ee1044-count}
Cột đầu tiên của mảng Routh đọc là 1, 3, 2, −4, 0.5. Số nghiệm nằm ở nửa mặt phẳng phải là —
Độ khó 1/5 · 100 xu + phần thưởng nhỏ khi hoàn thành lần đầu tiên hôm nay
Các dấu lần lượt là +, +, +, −, +: có hai lần đổi dấu tại 2→−4 và −4→0.5, suy ra có hai nghiệm RHP. Không có sự thay đổi dấu nào nghĩa là hệ ổn định.
Parameter ranges off one row
- For $s^{3}+5s^{2}+6s+K$ the critical $s^{1}$ entry is $\dfrac{30-K}{5}$: stable for $0 < K < 30$.
- At $K = 30$ the row vanishes. A whole zero row means symmetric roots: use the auxiliary equation 辅助方程 from the row above, $5s^{2}+30 = 0$, giving $s = \pm j2.45$: marginal stability 临界稳定, an oscillation that neither grows nor dies. The auxiliary equation is the equation built from the row above a zero row, and its roots sit symmetrically on the imaginary axis. Marginal stability is the borderline case in which poles on the imaginary axis hold an oscillation at constant amplitude.
For the family $s^{3}+as^{2}+8s+K$ the $s^{1}$ entry is $\dfrac{8a-K}{a}$, so stability is exactly $0 < K < 8a$: a straight boundary in the $(a, K)$ plane. The course plant $s(s+2)(s+4)$ has $a = 6$, limit $K = 48$.
{exercise:uni-ee1044-range}
Đối với s³ + 5s² + 6s + K, khoảng ổn định của K trên Routh là —
Độ khó 1/5 · 100 xu + phần thưởng nhỏ khi hoàn thành lần đầu tiên hôm nay
Hàng s¹ là (5×6 − K)/5 = (30 − K)/5, dương khi K < 30; the s⁰ row needs K > 0. Tại K = 30, phương trình phụ 5s² + 30 = 0 cho s = ±j2.45.
The two special cases
- A single zero in the first column: replace it by a small positive $\varepsilon$ and continue; read the signs as $\varepsilon \to 0^{+}$.
- A whole zero row: do not stop; form the auxiliary equation from the row above, differentiate it to fill the row, and read the symmetric roots.
- Rescaling a row by a positive number is free; a negative rescaling flips the signs you are counting. And marginal is not stable: poles on the axis mean an oscillation that never dies.
{exercise:uni-ee1044-marginal}
Tại biên K = 30, vòng lặp của s³ + 5s² + 6s + K sẽ —
Độ khó 1/5 · 100 xu + phần thưởng nhỏ khi hoàn thành lần đầu tiên hôm nay
Các cực nằm chính xác trên trục ảo tạo ra dao động duy trì tại ω = 2.45 rad/s: ổn định biên. Đây là trường hợp giới hạn, không phải ổn định.