Iterative processes with repeated deposits · Higher
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| recurrence relation/rɪˈkʌrəns rɪˈleɪʃn/ | đệ quy |
Một người tiết kiệm nhận được lãi suất 10% và sau đó đóng thêm 50 yuan mỗi năm. Khoản đóng góp đến sau khi tính lãi, vì vậy thứ tự thay đổi số dư.
- Người gửi tiền nhận lãi suất 10% rồi sau đó nộp thêm 50 nhân dân tệ mỗi năm. Số tiền gửi vào sau khi tính lãi, nên thứ tự này làm thay đổi số dư.
- Bài học này nghiên cứu phương trình truy hồi: Một quy tắc để tìm giá trị sau dựa trên giá trị ngay trước nó.
Chọn cấu trúc toán học
- Viết quy tắc cập nhật và giá trị ban đầu. Áp dụng các phép toán theo đúng thứ tự đã nêu, dùng kết quả trước đó làm đầu vào cho bước tiếp theo. Một phương trình truy hồi B_next=1.1B+50 khác với 1.1(B+50). Bảng tính có thể xác định ngưỡng chu kỳ nguyên đầu tiên; hãy kiểm tra cả giá trị ngay trước đó và giá trị vượt ngưỡng. Lặp (iteration) có thể mô hình hóa quá trình tăng trưởng, phân rã hoặc các quá trình lặp lại khác, không chỉ giải phương trình.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Why does B next=1.1B+50 differ from B next=1.1(B+50)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
From B₀=1000, the first gives B₁=1150 and the second B₁=1.1×1050=1155. The five-yuan gap then grows, so operation order must be preserved exactly.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Với B₀=1000 và Bₙ₊₁=1.1Bₙ+50, ta có B₁=1150, B₂=1315 và B₃=1496.5. Số dư lần đầu tiên vượt qua 1400 sau ba năm vì 1315≤1400<1496.5. Nếu khoản đóng góp đến trước khi tính lãi, B₁=1.1×1050=1155, lớn hơn năm yuan. Quy tắc giảm giá và bổ sung V next=0.8V+20, bắt đầu từ 200, sẽ tạo ra 180 rồi 164. Điểm cố định thỏa mãn V=0.8V+20, suy ra V=100; các giá trị trên 100 sẽ giảm dần về điểm này. Điểm cố định là giá trị được bảo toàn bởi phép cập nhật, không phải là tuyên bố rằng mọi bước hữu hạn đều đạt được chính xác nó.
Iterative processes with repeated deposits
Write an update rule and an initial value
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
Find B₁ for B₀=1000 and B next=1.1B+50.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.1×1000+50=1150.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Duy trì thứ tự phép toán và sử dụng giá trị đã cập nhật ở mỗi lần. Không làm tròn sớm hoặc nhầm lẫn giữa giá trị ban đầu với giá trị được cập nhật đầu tiên. Một ước lượng liên tục cho thời gian phi nguyên không tự động trả lời được câu hỏi về chu kỳ nguyên.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Việc nộp tiền trước khi tính lãi luôn cho kết quả giống hệt như việc nộp tiền sau khi tính lãi. Khẳng định này là sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Find B₂ using the same update.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.1×1150+50=1315.
Depositing before interest always gives the same result as depositing after interest.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Preserve operation order and use the updated value each time. Do not round early or confuse the initial value with the first updated value. A continuous fractional-period estimate does not answer a whole-period question by itself.
Giải thích tình huống mới
- AQA R16 Nâng cao mở rộng quá trình tăng trưởng/phân rã thành các quá trình lặp tổng quát. Nêu các giả thiết của mô hình, giá trị ban đầu, phương trình truy hồi và cách diễn giải ngưỡng. Sử dụng thế số để kiểm tra một điểm cố định đề xuất mà không cần dùng đạo hàm.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Find the fixed point of V next=0.8V+20.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Solve V=0.8V+20: 0.2V=20.
Match each recurrence concept to its meaning.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A recurrence needs an update rule and an initial value; a fixed point satisfies V=g(V), and whole-period answers need bracketing values, not a fractional estimate.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- 8300 · Higher · 3.3. Xác định đúng tầng mục tiêu và chương trình thi trước khi giao bài tập nâng cao.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Một quy tắc tìm giá trị sau dựa trên giá trị ngay trước nó. Chọn mối quan hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.