Tìm Diện Tích Vùng Giới Hạn Bởi Hai Đường Cong Cực
Đã giới thiệuThe region between two polar curves
- Just as with $x,y$ curves, you can find the area between two polar curves.
- Take the area inside the outer curve and subtract the area inside the inner curve.
- Each is a $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ integral; the answer is their difference.
- The trick is finding where the curves cross to set the angle limits.
Find the intersection angles first
- Set the two curves equal, $f(\theta)=g(\theta)$, and solve for the intersection angles.
- These angles are the limits of integration $\alpha,\beta$ for the enclosed region.
- (Polar intersections can be sneaky — a point may be reached at different $\theta$; sketch to be sure.)
- The region of interest lies between these angles.
Area inside r = 3cos θ and outside r = 1 + cos θ: outer radius squared minus inner radius squared
Diện tích giữa hai đường cong cực là $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ khi biểu thức dưới dấu tích phân là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bình phương đường kính ngoài trừ đi bình phương đường kính trong.
Để thiết lập giới hạn góc, hãy tìm các góc ____ bằng cách giải $f(\theta)=g(\theta)$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nơi các đường cong cắt nhau giới hạn vùng đó.
Outer squared minus inner squared
- On the interval, identify which curve is outer (larger $r$) and which is inner.
- The area between them is:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- Square each radius, subtract, halve, integrate — the polar washer.
Giữa hai đường cong cực
Diện tích giữa hai đường cong cực trừ các hình quạt bên trong từ hình quạt bên ngoài — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
Trên khoảng, đường cong ngoài là đường cong có...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đường cong ngoài = xa gốc tọa độ hơn = giá trị $r$ lớn hơn.
Square first, then subtract
- Just like Cartesian washers, it's $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, not $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- Square each radius before subtracting.
- Check which curve is outer on the interval — it can swap, needing a split.
- The $\tfrac12$ and the squares are both essential.
Diện tích nằm trong $r=2$, nằm ngoài $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (dưới dạng bội số của $\pi$).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
Bạn bình phương từng bán kính trước rồi mới trừ, không phải $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó là $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
Nếu đường cong ngoài và trong hoán vị qua lại trên khoảng, bạn cần chia nhỏ tích phân tại điểm giao nhau.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Việc chia nhỏ giữ cho phép trừ ngoài-trừ trong chính xác ở mỗi đoạn.
The integrand is $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — square before subtracting, never $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. Get the intersection angles right (sketch the curves), and confirm which curve is outer over the interval; if they trade places, split the integral at the crossing.
Find the area inside $r=2$ but outside $r=1$ (an annulus).
- Outer $r=2$, inner $r=1$, over all angles $0$ to $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (Matches the ring area $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
The area between two polar curves is $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. First find the intersection angles for the limits, identify outer vs. inner, and square each radius before subtracting — never $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.