Chiều dài cung của đường cong trơn, phẳng và Quãng đường di chuyển
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | chiều dài cung |
Measuring the length of a curve
- Area and volume were integrals; so is the length of a curve itself.
- Arc length 弧长 adds up the lengths of tiny straight pieces along the curve.
- On each little piece, the curve is nearly a straight line — a hypotenuse of a small right triangle.
- Sum those hypotenuses (integrate) to get the total length.
From a small triangle to the formula
- A tiny piece has horizontal run $dx$ and vertical rise $dy=f'(x)\,dx$.
- Its length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Add them from $a$ to $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
Each small piece of a curve is the hypotenuse of a dx-by-dy triangle
Đường cong dài hơn dây cung của nó
y = a·x^{1.5}
Chiều dài cung tổng hợp các cạnh huyền nhỏ $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — luôn ít nhất bằng khoảng ngang $b-a$.
Chiều dài cung của $y=f(x)$ trên $[a,b]$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bình phương đạo hàm, cộng 1, lấy căn.
Using the formula
- Compute $f'(x)$, square it, add $1$, take the square root, and integrate over $[a,b]$.
- The integrand is always $\ge1$, so arc length is at least the horizontal distance $b-a$ (a curve is longer than the straight line).
- Many arc-length integrals are hard by hand; on the BC exam you often set them up and evaluate numerically.
- The key skill is building the integrand correctly from $f'$.
Đối với $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. Hàm dưới dấu tích phân chiều dài cung là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$(f')^2=x$, do đó $\sqrt{1+x}$.
Tính $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (một số thập phân).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Vì hàm dưới dấu tích phân là $\ge 1$, chiều dài cung luôn ít nhất...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đường cong dài ít nhất bằng đoạn thẳng nối.
Arc length as distance traveled
- If a particle moves along $y=f(x)$, the arc length is the distance it travels along the path.
- (For motion given by $x(t),y(t)$, the parametric version comes in lesson 9.3.)
- So this same integral measures both a curve's geometric length and a path's traveled distance.
- Setup is identical; only the interpretation changes.
Hàm dưới dấu tích phân chiều dài cung sử dụng đạo hàm $f'(x)$, không phải $f(x)$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó là $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Dọc theo đường đi $y=f(x)$, chiều dài cung cũng đo quãng ____ đã di chuyển.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chiều dài cung = quãng đường di chuyển dọc theo đường đi.
The integrand is $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — the derivative is squared, and there's a $\boldsymbol{+1}$ inside the root, not outside. Don't write $\sqrt{1+f(x)^2}$ (using $f$ instead of $f'$) or forget the $+1$. And the whole thing is under one square root before integrating.
Set up the arc length of $y=\tfrac23 x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, so $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — summing tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Square the derivative, add $1$ inside the root, integrate. It also gives the distance traveled along the path.