Thể tích với Phương pháp Vành: Quay quanh Trục x hoặc y
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | vòng đệm |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | phương pháp vòng đệm |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | bán kính trong |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | bán kính ngoài |
A disc with a hole in it
- When you revolve a region that has a gap between two curves, each slice isn't a solid disc — it's a ring.
- That ring (a disc with a circular hole punched out) is a washer 垫圈.
- Its area is the big circle minus the small circle: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Adding up washers is the washer method 垫圈法.
Một vành (thay vì đĩa) xuất hiện khi...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Khoảng trống tạo lỗ hổng → một vành.
Outer minus inner radius
- Each washer has an outer radius 外半径 $R$ (to the far curve) and an inner radius 内半径 $r$ (to the near curve).
- Its area is $\pi\big(R^2-r^2\big)$, so:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Revolving about the $x$-axis, $R$ and $r$ are the distances from the two curves to the axis.
A washer is a disc with a hole: area πR² − πr²; adding the washers gives the volume
Hai đường cong tạo thành một vòng
y = ax² + bx
Giữa $y=x$ và $y=\sqrt x$ có một khoảng trống so với trục — khi quay tạo thành các vòng tròn rỗng với bán kính ngoài $\sqrt x$, bán kính trong $x$.
Thể tích phương pháp vành là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Circle lớn trừ circle nhỏ: $\pi(R^2-r^2)$.
Trong một vành, $R$ là bán kính ____ (đến đường cong xa) và $r$ là bán kính trong.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Ngoài đến đường cong xa, trong đến đường cong gần.
Identifying $R$ and $r$
- $R$ (outer) comes from the curve farther from the axis; $r$ (inner) from the nearer curve.
- Revolving the region between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) about the $x$-axis: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- The hole exists because the bottom curve doesn't reach the axis.
- Square each radius separately before subtracting.
Quay vùng giữa $y=\sqrt x$ (trên) và $y=x$ (dưới) quanh trục $x$, bán kính ngoài là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đường cong xa trục hơn, $\sqrt x$, là bán kính ngoài.
Square first, then subtract
- The area is $\pi(R^2-r^2)$, not $\pi(R-r)^2$ — square each radius before you subtract.
- $(R-r)^2$ would wrongly include a cross term and give the wrong volume.
- So compute $R^2$ and $r^2$ each, subtract, then integrate and multiply by $\pi$.
- This is the single most common washer mistake.
Hàm dưới dấu tích phân của phương pháp vành $R^2-r^2$ giống như $(R-r)^2$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bình phương từng bán kính trước; $(R-r)^2$ là sai.
Đối với $R=\sqrt x$, $r=x$ trên $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$ — square the radii before subtracting. And keep $R$ (outer, to the far curve) distinct from $r$ (inner, to the near curve); swapping them, or using $(R-r)^2$, both give wrong volumes. A washer appears only when a gap separates the region from the axis.
Revolve the region between $y=x$ (bottom) and $y=\sqrt x$ (top) on $[0,1]$ about the $x$-axis.
- Outer radius $R=\sqrt x$, inner radius $r=x$ (on $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
The washer method revolves a region with a gap into rings: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, where $R$ is the outer radius (far curve) and $r$ the inner radius (near curve). Square each radius before subtracting — $R^2-r^2$, never $(R-r)^2$.